京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

$$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$$ とおく。このとき$${\alpha }^m+{\alpha }^{-m}=2\cos m\theta$$であるから、示すべきことは$$\mathrm{\mid }\cos m\theta \mathrm{\mid }>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$となる自然数 $m$ の存在である。

まず $\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }>1\mathrm{/}2$ なら $m=1$ でよい。以下$$\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$とする。余弦の絶対値は周期 $\pi$ をもつので、$\theta$ を $\pi$ の整数倍だけ変えて$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$としてよい。この範囲では$$-1\leqq \cos 2\theta \leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。従って、$$\theta \mathrm{\ne }\pi \mathrm{/}3,2\pi \mathrm{/}3$$ なら$$\mathrm{\mid }\cos 2\theta \mathrm{\mid }>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$なので $m=2$ でよい。

残る $\theta =\pi \mathrm{/}3,2\pi \mathrm{/}3$ の場合は$$\mathrm{\mid }\cos 3\theta \mathrm{\mid }=1>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$であるから $m=3$ でよい。

以上により、常に $m=1,2,3$ のいずれかが条件を満たし、$$\mathrm{\mid }{\alpha }^m+{\alpha }^{-m}\mathrm{\mid }>1$$となる自然数 $m$ が存在する。

$\alpha =e^{i\theta }$ とおき、$c=\cos \theta$ に対する
$\cos 2\theta =2c^2-1$、$\cos 3\theta =4c^3-3c$ を使う。
$m=1,2$ で条件を満たさない場合を代数的に絞ると、$m=3$ で必ず満たす。

$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ より、ある実数 $\theta$ を用いて$$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$$と書ける。このとき$${\alpha }^m+{\alpha }^{-m}=2\cos m\theta \mathrm{.}$$$c=\cos \theta$ とおく。

$\mathrm{\mid }2c\mathrm{\mid }>1$ なら $m=1$ でよい。以下 $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }\leqq 1\mathrm{/}2$ とする。$$\cos 2\theta =2c^2-1$$であるから、$\mathrm{\mid }2\cos 2\theta \mathrm{\mid }>1$ なら $m=2$ でよい。
これも成り立たないと仮定すると$$\mathrm{\mid }2c^2-1\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }\leqq 1\mathrm{/}2$ と合わせると$$c^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$でなければならない。実際、後者の不等式は $c^2\geqq 1\mathrm{/}4$ を与える。

そこで3倍角の公式を使うと$$\cos 3\theta =4c^3-3c=c(4c^2-3)=-2c,$$従って$$\mathrm{\mid }{\alpha }^3+{\alpha }^{-3}\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }\cos 3\theta \mathrm{\mid }=4\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=2>1.$$ゆえに $m=1,2,3$ のいずれかが必ず条件を満たす。