京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

(1) 出発後 $t$ 単位時間において、$A$ の座標和は $4-t$、$B$ の座標和は $t$ である。従って二人が出会えるのは$$4-t=t$$すなわち $t=2$ のときだけである。

最初の2回で $A$ が南へ進む回数を $S$、$B$ が北へ進む回数を $N$ とする。時刻2での座標は$$A=(S,2-S),B=(2-N,N)$$なので、出会う条件は $S+N=2$ である。独立性より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(p,q)}& {\displaystyle =(1-p{)}^2{q}^2+\{2p(1-p)\}\{2q(1-q)\}+p^2(1-q{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-6q+6q^2)p^2+(4q-6q^2)p+q^2\mathrm{.}}\end{array}$$(2) $f$ を $p$ の二次関数とみる。端点では$$f(0,q)=q^2,f(1,q)=(1-q{)}^2$$であり、$0\leqq q\leqq 1\mathrm{/}2$ では $f(1,q)\geqq f(0,q)$ である。

二次係数を$$A=1-6q+6q^2$$とする。放物線が上に凸の場合、最大値は端点 $p=1$ でとる。下に凸の場合の頂点は$$p_{\ast }={\displaystyle \frac{q(2-3q)}{6q-6q^2-1}}\mathrm{.}$$この頂点が区間 $[0,1]$ に入るのは $q\geqq 1\mathrm{/}3$ のときである。実際、$p_{\ast }=1$ は $q=1\mathrm{/}3$ で起こり、$1\mathrm{/}3<q\leqq 1\mathrm{/}2$ では $0<p_{\ast }<1$ となる。

従って、最大にする $p$ と最大値 $M(q)$ は$$\begin{array}{ccc}q\text{ の範囲}& p& M(q)\\ 0\leqq q\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}& 1& (1-q{)}^2\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}<q\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{q(2-3q)}{6q-6q^2-1}}& {\displaystyle \frac{3q^2(1-q{)}^2}{6q-6q^2-1}}\end{array}$$である。$q=1\mathrm{/}3$ では二つの式はいずれも $p=1,M=4\mathrm{/}9$ を与える。

2歩後の南進回数・北進回数の確率母関数を作り、
積の $z^2$ の係数として出会う確率を一度に取り出す。
得られた $p$ の二次式を平方完成し、頂点が区間に入る境界を調べる。

(1)
時刻 $t$ で $A$ の座標和は $4-t$、$B$ の座標和は $t$ だから、
出会える時刻は $t=2$ だけである。

2歩で $A$ が南へ進む回数 $S$ の確率母関数は$$\{(1-p)+pz{\}}^2,$$$B$ が北へ進む回数 $N$ の確率母関数は$$\{(1-q)+qz{\}}^2$$である。時刻2に出会う条件は $S+N=2$ なので、積の $z^2$ の係数を
取れば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(p,q)}& {\displaystyle =(1-p{)}^2{q}^2+4p(1-p)q(1-q)+p^2(1-q{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-6q+6q^2)p^2+(4q-6q^2)p+q^2\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$0\leqq q\leqq 1\mathrm{/}2$ とする。端点では$$f(0,q)=q^2,f(1,q)=(1-q{)}^2,$$従って大きい方は $p=1$ である。二次係数が負のときの頂点は$$p_{\ast }={\displaystyle \frac{q(2-3q)}{6q-6q^2-1}}\mathrm{.}$$平方完成、または $0\leqq p_{\ast }\leqq 1$ を直接解くと、この頂点が
区間に入るのは $1\mathrm{/}3\leqq q\leqq 1\mathrm{/}2$ のときである。
$q=1\mathrm{/}3$ では $p_{\ast }=1$ で端点と一致する。

従って$$\begin{array}{ccc}q\text{ の範囲}& p& M(q)\\ 0\leqq q\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}& 1& (1-q{)}^2\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}<q\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{q(2-3q)}{6q-6q^2-1}}& {\displaystyle \frac{3q^2(1-q{)}^2}{6q-6q^2-1}}\end{array}$$である。