京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$g(x)=e^x-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$$とおく。$x\geqq 0$ では基本不等式 $e^x\geqq 1+x$ より$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x-x\geqq 1>0.$$また $g(0)=0$ なので$$g(x)\geqq 0.$$従って$$e^x\geqq 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$$である。

(2) $$f_n(x)=n^2(x-1)e^{-nx}$$を微分すると$$f_n^{\mathrm{\prime }}(x)=n^2{e}^{-nx}(n+1-nx)\mathrm{.}$$従って $x\geqq 0$ において $f_n$ は$$x=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$$で最大となる。その最大値は$$M_n=n^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{n}}\cdot e^{-(n+1)}=n{e}^{-(n+1)}\mathrm{.}$$よって、$r=e^{-1}$ とおけば$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n=e^{-1}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{r}^n\mathrm{.}$$有限等比数列を微分して極限をとることにより$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{r}^n={\displaystyle \frac{r}{(1-r{)}^2}}(0<r<1)$$だから$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n={\displaystyle \frac{e^{-2}}{(1-e^{-1}{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{(e-1{)}^2}}\mathrm{.}$$

(1) は $e^x$ の積分表示から、問題の式より強い評価を得る。
(2)は $u=n(x-1)$ と拡大し、最大化を $u{e}^{-u}$ の標準形へ帰着する。

(1)
$x\geqq 0$ で$$e^x=1+{\int }_0^x{e}^{t}dt\geqq 1+{\int }_0^x(1+t)dt=1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\mathrm{.}$$ここで $e^t\geqq 1+t$ を用いた。従って特に$$e^x\geqq 1+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\mathrm{.}$$(2)
$u=n(x-1)$ とおく。$x\geqq 0$ は $u\geqq -n$ に対応し、$$f_n(x)=n{e}^{-n}u{e}^{-u}\mathrm{.}$$$u<0$ ではこの値は負である。一方$${\displaystyle \frac{d}{du}}(u{e}^{-u})=(1-u)e^{-u}$$だから、$u\geqq 0$ での最大値は $u=1$ のときの $e^{-1}$ である。
従って$$M_n=n{e}^{-(n+1)}\mathrm{.}$$よって$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n={\displaystyle \frac{1}{e}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{\left({\displaystyle \frac{1}{e}}\right)}^n={\displaystyle \frac{1}{e}}\cdot {\displaystyle \frac{1\mathrm{/}e}{(1-1\mathrm{/}e{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{(e-1{)}^2}}\mathrm{.}$$