京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

中心を $P=(x,y)$ とおく。円 $C$ は中心が $P$ で原点 $O$ を通るので、その半径は $$OP=\sqrt{x^2+y^2}$$ である。

領域 $D$ は帯状領域 $-1\leqq Y\leqq 1$ である。円全体がこの帯に含まれるためには、円が上の直線 $Y=1$ にも下の直線 $Y=-1$ にもはみ出さなければよい。中心 $(x,y)$ から上の境界までの距離は $1-y$、下の境界までの距離は $1+y$ である。

したがって必要十分条件は $$\sqrt{x^2+y^2}\leqq 1-y$$ かつ $$\sqrt{x^2+y^2}\leqq 1+y$$ である。これはまとめて $\sqrt{x^2+y^2}\leqq 1-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ と書ける。この右辺が0以上であることから、特に $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 1$ も含まれる。

両辺は0以上なので2乗して $x^2+y^2\leqq (1-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }{)}^2$ である。右辺を展開すると $(1-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }{)}^2=1-2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+y^2$ だから $x^2+2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 1$ を得る。すなわち $$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1-x^2}{2}}$$ であり、このためには $-1\leqq x\leqq 1$ である。

したがって $P$ の動きうる範囲は、$x$ 軸に関して対称で、上側の境界が $$y={\displaystyle \frac{1-x^2}{2}}$$ 下側の境界が $$y=-{\displaystyle \frac{1-x^2}{2}}$$ である領域である。面積は$${\int }_{-1}^1\{{\displaystyle \frac{1-x^2}{2}}-(-{\displaystyle \frac{1-x^2}{2}})\}dx={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx$$である。よって $${[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-1}^1={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ となる。

したがって面積は ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。

円が帯から出ない条件を $x^2+2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 1$ まで求める。
その後は $y$ を固定し、許される $x$ の幅を
$2\sqrt{1-2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}$ として水平断面を積分する。

中心を $P=(x,y)$ とすると、円の半径は$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$である。円が帯 $-1\leqq Y\leqq 1$ に含まれるための必要十分条件は$$r\leqq 1-y,r\leqq 1+y\mathrm{.}$$すなわち$$\sqrt{x^2+y^2}\leqq 1-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$$である。両辺を2乗して整理すると$$x^2+2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 1.$$$y$ を固定すると、動ける $x$ の範囲は$$-\sqrt{1-2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}\leqq x\leqq \sqrt{1-2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }}$$であり、$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 1\mathrm{/}2$ である。上下対称性を使えば面積 $A$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle =2{\int }_0^{1\mathrm{/}2}2\sqrt{1-2y}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4{[-{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-2y{)}^{3\mathrm{/}2}]}_0^{1\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。