京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) 三角形 $ABC$ の内角をそれぞれ $A,B,C$ とする。外接円の半径が1であるから、正弦定理より $$BC=2\sin A,CA=2\sin B,AB=2\sin C$$ である。したがって $$A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2=4({\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C)$$ である。

ここで、三角形の角について $${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2+2\cos A\cos B\cos C$$ が成り立つ。実際、$C=\pi -A-B$ として加法定理で整理すれば得られる恒等式である。よって $$A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2=8+8\cos A\cos B\cos C$$ である。

(1) 仮定より $A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2>8$ だから、上の式から $\cos A\cos B\cos C>0$ である。

三角形の内角のうち、鈍角または直角は高々1つである。もし1つが鈍角なら、その余弦は負で、残り2つの余弦は正なので積は負になる。もし1つが直角なら積は0になる。いずれも上の正の条件に反する。したがって3つの余弦はすべて正であり、$$A<{90}^{\circ },B<{90}^{\circ },C<{90}^{\circ }$$ である。よって $\mathrm{△}ABC$ は鋭角三角形である。

(2) まず $\mathrm{△}ABC$ が鋭角三角形でない場合を考える。このとき少なくとも1つの余弦が0以下で、残りの余弦の積を考えても $\cos A\cos B\cos C\leqq 0$ である。したがって $A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2\leqq 8<9$ である。

次に $\mathrm{△}ABC$ が鋭角三角形の場合を考える。このとき $\cos A,\cos B,\cos C$ はすべて正である。$B+C=\pi -A$ より$$\cos B\cos C={\displaystyle \frac{\cos (B+C)+\cos (B-C)}{2}}={\displaystyle \frac{-\cos A+\cos (B-C)}{2}}$$である。$\cos (B-C)\leqq 1$ だから $$\cos B\cos C\leqq {\displaystyle \frac{1-\cos A}{2}}={\sin }^2{\displaystyle \frac{A}{2}}$$ となる。よって$$\cos A\cos B\cos C\leqq \cos A{\sin }^2{\displaystyle \frac{A}{2}}={\displaystyle \frac{\cos A(1-\cos A)}{2}}$$である。 $0<\cos A<1$ とおき、$t=\cos A$ とすれば $${\displaystyle \frac{t(1-t)}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。等号は $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときである。したがって $$\cos A\cos B\cos C\leqq {\displaystyle \frac{1}{8}}$$ であり、$$A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2=8+8\cos A\cos B\cos C\leqq 9$$ が示された。

等号が成り立つには、上の不等式で等号がすべて成り立つ必要がある。すなわち $$\cos (B-C)=1,\cos A={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。前者より $B=C$、後者より $A={60}^{\circ }$ である。さらに $B+C={120}^{\circ }$ だから $B=C={60}^{\circ }$ となる。したがって等号成立は $A=B=C={60}^{\circ }$、すなわち3点 $A,B,C$ が円に内接する正三角形の頂点である場合に限る。

円の中心を原点とし、3点の位置ベクトルを単位ベクトルで表す。
(1) は鋭角でない場合の対偶を、最長辺と直径2から示す。
(2) は3辺の2乗和を3本の位置ベクトルの和の長さへ変形すると、
非負性だけで上界9と等号条件が同時に得られる。

(1)
$\mathrm{△}ABC$ が鋭角でないと仮定し、最長辺を $AB$ とする。
余弦定理より、対角 $C$ が直角または鈍角であることから$$A{B}^2\geqq B{C}^2+C{A}^2\mathrm{.}$$また半径1の円の弦なので $AB\leqq 2$。よって$$A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2\leqq 2A{B}^2\leqq 8.$$対偶により、3辺の2乗和が8より大きければ三角形は鋭角である。

(2)
円の中心を原点とし、$A,B,C$ の位置ベクトルを
$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ とする。いずれも長さ1であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{w}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9-\mathrm{\mid }\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2\leqq 9.}\end{array}$$等号は $$\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$$ のときに限る。
このとき$$\vec{u}+\vec{v}=-\vec{w}$$の両辺の長さを比較して $\vec{u}\cdot \vec{v}=-1\mathrm{/}2$ を得る。
循環的に他の内積も $-1\mathrm{/}2$ となるため、3つの中心角はすべて
${120}^{\circ }$、すなわち $ABC$ は正三角形である。逆も明らかなので、
等号成立は3点が正三角形の頂点をなす場合に限る。