京都大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$AB=1$ となるよう尺度を取り、$$A=(0,\mathbf{0}),B=(1,\mathbf{0}),C=(c,\mathbf{u}),D=(d,\mathbf{v})$$と表す。太字部分は $AB$ に垂直な2次元平面内のベクトルである。
面 $ABC,ABD$ は鋭角三角形だから、$C,D$ から $AB$ への垂線の足は
線分 $AB$ の内部にある。よって$$0<c<1,0<d<1.$$また四面体は退化していないので $\mathbf{u},\mathbf{v}$ は平行でない。

$AB$ を含む平面 $\alpha$ を、その $AB$ に垂直な単位方向ベクトル
$\mathbf{e}$ で表す。$\alpha$ 内で $A=(0,0),B=(1,0)$ と座標を取ると$$C^{\mathrm{\prime }}=(c,u),D^{\mathrm{\prime }}=(d,v),u=\mathbf{u}\cdot \mathbf{e},v=\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}\mathrm{.}$$$A,B$ を通る円の方程式は、ある実数 $\lambda$ を用いて$$x^2+y^2-x+\lambda y=0$$と書ける。したがって $C^{\mathrm{\prime }},D^{\mathrm{\prime }}$ もこの円上にあるための必要十分条件は$$\begin{array}{cccc}& F(\mathbf{e})=(c^2+u^2-c)v-(d^2+v^2-d)u=0.& & \text{(*)}\end{array}$$$AB$ に垂直な平面で向きを固定し、90度回転を $J$ とする。$${\mathbf{e}}_0={\displaystyle \frac{J\mathbf{u}}{\mathrm{\mid }\mathbf{u}\mathrm{\mid }}},{\mathbf{e}}_1=-{\displaystyle \frac{J\mathbf{v}}{\mathrm{\mid }\mathbf{v}\mathrm{\mid }}}$$と取る。$\mathrm{\Delta }$ を $\mathbf{u},\mathbf{v}$ の向き付き面積とすると
$\mathrm{\Delta }\mathrm{\ne }0$ である。${\mathbf{e}}_0$ では $u=0$ かつ
$v=\mathrm{\Delta }\mathrm{/}\mathrm{\mid }\mathbf{u}\mathrm{\mid }$ だから$$\mathrm{sgn}F({\mathbf{e}}_0)=-\mathrm{sgn}\mathrm{\Delta }$$である。一方、${\mathbf{e}}_1$ では $v=0$ かつ
$u=\mathrm{\Delta }\mathrm{/}\mathrm{\mid }\mathbf{v}\mathrm{\mid }$ だから$$\mathrm{sgn}F({\mathbf{e}}_1)=\mathrm{sgn}\mathrm{\Delta }\mathrm{.}$$単位円上で ${\mathbf{e}}_0$ から ${\mathbf{e}}_1$ へ連続に動かすと、
$F$ も連続に変化する。中間値の定理により $(\ast )$ を満たす
$\mathbf{e}$ が存在する。

この零点では $u=0$ なら $(c^2-c)v=0$ となって不可能であり、
同様に $v\mathrm{\ne }0$ でもある。ゆえに $A,B,C^{\mathrm{\prime }}$ は一直線上にならず、
共円は退化しない。さらに $0<c,d<1$ から $C^{\mathrm{\prime }},D^{\mathrm{\prime }}$ は $A,B$ と異なる。
仮定 $AB\perp ̸CD$ は $c\mathrm{\ne }d$ と同値なので $C^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }{D}^{\mathrm{\prime }}$ でもある。
以上により、題意を満たす平面 $\alpha$ が存在する。

辺 $AB$ を軸として射影平面を回し、射影点から $AB$ を見る有向角の差を考える。
面 $ABC$ に垂直な平面と面 $ABD$ に垂直な平面では差の符号が逆になる。
鋭角条件で端点の射影位置を制御し、連続性と円周角の定理の逆で存在を得る。

$AB$ を含む平面を連続的に回転させる。まず平面 ${\alpha }_0$ を
面 $ABC$ と垂直に取る。このとき $C^{\mathrm{\prime }}$ は $C$ から $AB$ へ下ろした垂線の足であり、
面 $ABC$ が鋭角なので $AB$ の内部にある。したがって
$A,C^{\mathrm{\prime }},B$ はこの順に一直線上に並ぶ。

同様に、面 $ABD$ と垂直な平面 ${\alpha }_1$ では $D^{\mathrm{\prime }}$ が
$AB$ の内部にある。射影点が $AB$ 上にない途中の平面で、
$AB$ に対する2つの有向円周角の差$$\mathrm{\Phi }(\alpha )=\mathrm{\angle }A{C}^{\mathrm{\prime }}B-\mathrm{\angle }A{D}^{\mathrm{\prime }}B$$を連続に選ぶ。${\alpha }_0$ 側と ${\alpha }_1$ 側では、
一方だけが平角へ近づくため $\mathrm{\Phi }$ の符号が逆になる。
よって中間値の定理により途中で $\mathrm{\Phi }(\alpha )=0$ となる平面が存在する。
円周角の定理の逆から、その平面では $A,B,C^{\mathrm{\prime }},D^{\mathrm{\prime }}$ は同一円周上にある。

鋭角条件により $C^{\mathrm{\prime }},D^{\mathrm{\prime }}$ の $AB$ 方向の座標は両端 $A,B$ の間にあるので、
$A,B$ とは一致しない。また $C^{\mathrm{\prime }}=D^{\mathrm{\prime }}$ なら、$C,D$ の差は
$\alpha$ の法線方向となって $CD\perp AB$ となり、仮定に反する。
したがって4点はすべて相異なる。