京都大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

楕円上では $y^2=4(1-x^2)$ である。円の式へ代入すると、交点の $x$ 座標は$$h(x)=3x^2+2ax+b-a^2-4=0$$を満たす。相異なる4交点をもつための必要十分条件は、$h$ が $(-1,1)$ に異なる2根をもつことである。

上に開く二次関数なので、この条件は、軸が区間内にあり、判別式が正で、両端の値が正であること、すなわち$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<3,b<4+{\displaystyle \frac{4a^2}{3}},b>(a+1{)}^2,b>(a-1{)}^2$$である。最後の二つは$$b>(\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+1{)}^2$$とまとめられる。よって求める範囲は$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<3,(\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+1{)}^2<b<4+{\displaystyle \frac{4a^2}{3}}\mathrm{.}$$これは $a=0$ に関して対称で、下側の二つの放物線 $b=(a\pm 1{)}^2$ の外側包絡線と、上側の放物線 $b=4+4a^2\mathrm{/}3$ の間の開領域である。境界は含まない。

交点の $x$ 座標を与える上に開く二次式を作る。
相異なる4交点とは、異なる2つの $x$ 根がともに $(-1,1)$ に入り、
各根に正負2つの $y$ が対応することと同値である。
軸・判別式・両端値の4条件を必要十分として整理する。

楕円上では $y^2=4(1-x^2)$ である。円へ代入すると$$h(x)=3x^2+2ax+b-a^2-4=0.$$異なる2根が $(-1,1)$ にあれば各根で $y\mathrm{\ne }0$ の正負2点が得られ、
逆も成り立つ。

$h$ は上に開くから、この2根条件は$$-1<-{\displaystyle \frac{a}{3}}<1,h(-{\displaystyle \frac{a}{3}})<0,h(-1)>0,h(1)>0$$と同値である。各式を整理すると$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<3,b<4+{\displaystyle \frac{4a^2}{3}},b>(a-1{)}^2,b>(a+1{)}^2\mathrm{.}$$最後の2式は $b>(\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+1{)}^2$ とまとめられる。したがって求める開領域は$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<3,(\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+1{)}^2<b<4+{\displaystyle \frac{4a^2}{3}}\mathrm{.}$$すべて厳密不等号なので、3本の放物線からなる境界は含まない。