京都大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第5問

回転角を $u$ とすると$$P=(\cos u,\sin u,1),Q=(-\sin u,\cos u,0)$$と表せる。実際、上下の点の偏角差は常に $\pi \mathrm{/}2$ であり、$P{Q}^2=1+2=3$ は一定である。

線分 $PQ$ 上で高さが $z$ の点は$$X=(1-z)Q+zP$$である。その水平座標は$$(x,y)=(z\cos u-(1-z)\sin u,z\sin u+(1-z)\cos u)$$だから$$x^2+y^2=z^2+(1-z{)}^2\mathrm{.}$$したがって高さ $z$ の断面は半径 $\sqrt{z^2+(1-z{)}^2}$ の円板である。求める体積は$$V=\pi {\int }_0^1\{z^2+(1-z{)}^2\}dz={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\mathrm{.}$$

回転角・高さ・中心軸からの比率を3変数とする円柱座標で立体を直接パラメータ化する。
高さ $z$ の通過円の半径を求めた後、半径方向のヤコビアン $\rho$ を含む
三重積分で体積を計算する。

回転角を $u$ とすると$$P=(\cos u,\sin u,1),Q=(-\sin u,\cos u,0)\mathrm{.}$$高さ $z$ の線分上の点は $(1-z)Q+zP$ で、その中心軸からの距離を $R(z)$ とすると$$R(z{)}^2=z^2+(1-z{)}^2\mathrm{.}$$$u$ が1回転することで、この点は高さ $z$ の円周全体を通る。
よって囲まれる立体は円柱座標で$$0\leqq z\leqq 1,0\leqq u<2\pi ,0\leqq \rho \leqq R(z)$$と表される。体積要素は $\rho d\rho dudz$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^1{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{R(z)}\rho d\rho dudz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1\{z^2+(1-z{)}^2\}dz={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$