京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

$P$ の $x$ 座標を $t$ とする。$F(x)=x^3+2x^2+2$ とおけば$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2+4t\mathrm{.}$$従って接線 $L$ は$$y=(3t^2+4t)x-2t^3-2t^2+2$$である。これと $y=3x^2$ の交点の $x$ 座標は$$3x^2-(3t^2+4t)x+2t^3+2t^2-2=0$$の二根である。この二次方程式の判別式は$$D=(3t^2+4t{)}^2-12(2t^3+2t^2-2)=9t^4-8t^2+24.$$$u=t^2\geqq 0$ とすれば$$D=9u^2-8u+24=9{(u-{\displaystyle \frac{4}{9}})}^2+{\displaystyle \frac{200}{9}}>0$$だから、常に異なる二交点をもつ。

二根を $r_1<r_2$ とすると$$r_2-r_1={\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{3}}\mathrm{.}$$接線が放物線より上にある区間での差は $3(x-r_1)(r_2-x)$ なので、面積 $S$ は$$S=3{\int }_{r_1}^{r_2}(x-r_1)(r_2-x)dx={\displaystyle \frac{(r_2-r_1{)}^3}{2}}={\displaystyle \frac{D^{3\mathrm{/}2}}{54}}\mathrm{.}$$これは $D$ が最小のとき最小となる。$u=4\mathrm{/}9$、すなわち $t=\pm 2\mathrm{/}3$ のとき $D=200\mathrm{/}9$ だから$$S_{\min }={\displaystyle \frac{1}{54}}{\left({\displaystyle \frac{200}{9}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1000\sqrt{2}}{729}}\mathrm{.}$$

接線と放物線の差を、下に開く放物線
$h-3(x-c{)}^2$ の形で見る。
頂点の高さ $h$ は判別式から求まり、面積はこの標準形を直接積分できる。
最後に $t^2$ について平方完成する。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線は$$L:y=(3t^2+4t)x-2t^3-2t^2+2.$$接線と $y=3x^2$ の差を $H_t(x)$ とおけば$$H_t(x)=-3x^2+(3t^2+4t)x-2t^3-2t^2+2.$$この二次式の判別式は$$D=9t^4-8t^2+24.$$$H_t(x)$ を頂点形式$$H_t(x)=h-3(x-c{)}^2$$と書くと、二根の間隔が $2\sqrt{h\mathrm{/}3}$ である一方、
二次方程式の根の差は $\sqrt{D}\mathrm{/}3$ だから$$h={\displaystyle \frac{D}{12}}\mathrm{.}$$囲まれる面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{c-\sqrt{h\mathrm{/}3}}^{c+\sqrt{h\mathrm{/}3}}\{h-3(x-c{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4h^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{D^{3\mathrm{/}2}}{54}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $D$ を最小にすればよい。$u=t^2\geqq 0$ とおくと$$D=9u^2-8u+24=9{(u-{\displaystyle \frac{4}{9}})}^2+{\displaystyle \frac{200}{9}}\mathrm{.}$$よって $t^2=4\mathrm{/}9$ のとき最小となり、$$S_{\min }={\displaystyle \frac{1}{54}}{\left({\displaystyle \frac{200}{9}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1000\sqrt{2}}{729}}\mathrm{.}$$