京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1) 単位円上の異なる2点 $u,v$ を通る直線は$$w+uv\bar{w}=u+v$$と表せる。実際、$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=1$ を用いれば $w=u,v$ はこの式を満たし、これは $w,\bar{w}$ に関する実一次方程式である。

正五角形の頂点を $1,\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3,{\alpha }^4$ と反時計回りに並べる。第1象限にある求める交点は、辺 $\alpha {\alpha }^2$ と辺 ${\alpha }^{4}1$ の延長の交点である。従って$$z+{\alpha }^3\bar{z}=\alpha +{\alpha }^2,z+{\alpha }^4\bar{z}=1+{\alpha }^4\mathrm{.}$$${\alpha }^5=1$ および $$1+\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3+{\alpha }^4=0$$ を用いて連立すると$$z={\displaystyle \frac{\alpha (1+\alpha )}{1+{\alpha }^2}}\mathrm{.}$$なお $1+\alpha$ の偏角は ${36}^{\circ }$ で、係数 $$\alpha \mathrm{/}(1+{\alpha }^2)=1\mathrm{/}(\alpha +{\alpha }^4)>0$$ だから、この $z$ は確かに第1象限にある。

(2) 4点 $0,1,{\alpha }^2,z$ が同一円周上にあるための必要十分条件は、これらが同一直線上にない本問では$${\displaystyle \frac{(z-1)(0-{\alpha }^2)}{(z-{\alpha }^2)(0-1)}}={\alpha }^2{\displaystyle \frac{z-1}{z-{\alpha }^2}}$$が実数となることである。(1)の式を代入すると$${\alpha }^2{\displaystyle \frac{z-1}{z-{\alpha }^2}}={\alpha }^2{\displaystyle \frac{\alpha -1}{\alpha -{\alpha }^4}}=-(\alpha +{\alpha }^4)\mathrm{.}$$右辺は $-2\cos {72}^{\circ }$ で実数である。従って $0,1,{\alpha }^2,z$ は同一円周上にあり、3点 $1,{\alpha }^2,z$ を通る円は原点を通る。

交点の式を極形式へ直し、
$z={\phi }^2(\cos {36}^{\circ }+i\sin {36}^{\circ })$ と読む。
原点・1・${\alpha }^2$ を通る円を実座標で書き、
この $z$ が円の方程式を満たすことを確認する。

(1)

辺の直線を連立すると$$z={\displaystyle \frac{\alpha (1+\alpha )}{1+{\alpha }^2}}$$を得る。ここで$$1+\alpha =2\cos {36}^{\circ }{e}^{{36}^{\circ }i},1+{\alpha }^2=2\cos {72}^{\circ }{e}^{{72}^{\circ }i}\mathrm{.}$$したがって$$z={\displaystyle \frac{\cos {36}^{\circ }}{\cos {72}^{\circ }}}{e}^{{36}^{\circ }i}\mathrm{.}$$$$\phi =(1+\sqrt{5})\mathrm{/}2=2\cos {36}^{\circ }$$ とおけば$$\cos {72}^{\circ }=(\phi -1)\mathrm{/}2$$ だから$$z={\phi }^2(\cos {36}^{\circ }+i\sin {36}^{\circ })\mathrm{.}$$これは確かに第1象限の点である。

(2)

$0$、$1$、$${\alpha }^2=(\cos {144}^{\circ },\sin {144}^{\circ })$$ を通る円は$$x^2+y^2-x-\cot {18}^{\circ }y=0$$である。実際、原点と $(1,0)$ を通り、${\alpha }^2$ を代入しても$$1-\cos {144}^{\circ }-\cot {18}^{\circ }\sin {144}^{\circ }=0$$となる。$$z=({\phi }^2\cos {36}^{\circ },{\phi }^2\sin {36}^{\circ })$$ を左辺へ代入すると$${\phi }^2\{{\phi }^2-\cos {36}^{\circ }-\cot {18}^{\circ }\sin {36}^{\circ }\}\mathrm{.}$$ところが$$\cos {36}^{\circ }+\cot {18}^{\circ }\sin {36}^{\circ }=\cos {36}^{\circ }+2{\cos }^2{18}^{\circ }=1+2\cos {36}^{\circ }={\phi }^2\mathrm{.}$$よって上式は0であり、$z$ もこの円上にある。
したがって3点 $1,{\alpha }^2,z$ を通る円は原点を通る。