京都大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) 単位円上の異なる2点 $u,v$ を通る直線は$$w+uv\bar{w}=u+v$$と表せる。正五角形の頂点を $1,\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3,{\alpha }^4$ と並べると、求める交点は辺 $\alpha {\alpha }^2$ と辺 ${\alpha }^{4}1$ の延長の交点である。従って$$z+{\alpha }^3\bar{z}=\alpha +{\alpha }^2,z+{\alpha }^4\bar{z}=1+{\alpha }^4\mathrm{.}$$${\alpha }^5=1$、$$1+\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3+{\alpha }^4=0$$ を用いて解くと$$z={\displaystyle \frac{\alpha (1+\alpha )}{1+{\alpha }^2}}\mathrm{.}$$係数 $$\alpha \mathrm{/}(1+{\alpha }^2)=1\mathrm{/}(\alpha +{\alpha }^4)>0$$ で、$1+\alpha$ の偏角は $\pi \mathrm{/}5$ だから、この点は第1象限にある。

(2) 4点 $0,1,{\alpha }^2,z$ の複比を調べる。(1)の式から$${\displaystyle \frac{(z-1)(0-{\alpha }^2)}{(z-{\alpha }^2)(0-1)}}={\alpha }^2{\displaystyle \frac{z-1}{z-{\alpha }^2}}={\alpha }^2{\displaystyle \frac{\alpha -1}{\alpha -{\alpha }^4}}=-(\alpha +{\alpha }^4)\mathrm{.}$$右辺は $-2\cos (2\pi \mathrm{/}5)$ で実数である。従って $0,1,{\alpha }^2,z$ は同一円周上にあり、3点 $1,{\alpha }^2,z$ を通る円は原点を通る。

交点の式を極形式へ直し、
$z={\phi }^2{e}^{\pi i\mathrm{/}5}$ と読む。
原点・1・${\alpha }^2$ を通る円を実座標で書き、
この $z$ がその方程式を満たすことを確認する。

(1)

2本の辺の直線を連立すると$$z={\displaystyle \frac{\alpha (1+\alpha )}{1+{\alpha }^2}}\mathrm{.}$$また$$1+\alpha =2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}{e}^{\pi i\mathrm{/}5},1+{\alpha }^2=2\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}{e}^{2\pi i\mathrm{/}5}\mathrm{.}$$したがって$$z={\displaystyle \frac{\cos (\pi \mathrm{/}5)}{\cos (2\pi \mathrm{/}5)}}{e}^{\pi i\mathrm{/}5}\mathrm{.}$$$$\phi =(1+\sqrt{5})\mathrm{/}2=2\cos (\pi \mathrm{/}5)$$ とおけば$$z={\phi }^2{e}^{\pi i\mathrm{/}5}\mathrm{.}$$(2)

$0$、$1$、$${\alpha }^2=(\cos (4\pi \mathrm{/}5),\sin (4\pi \mathrm{/}5))$$ を通る円は$$x^2+y^2-x-\cot {\displaystyle \frac{\pi }{10}}y=0$$である。ここへ$$z=({\phi }^2\cos (\pi \mathrm{/}5),{\phi }^2\sin (\pi \mathrm{/}5))$$を代入すると、左辺は$${\phi }^2\{{\phi }^2-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}-\cot {\displaystyle \frac{\pi }{10}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\}\mathrm{.}$$ところが$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}+\cot {\displaystyle \frac{\pi }{10}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}=1+2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}={\phi }^2\mathrm{.}$$よって左辺は0であり、$z$ はこの円上にある。
したがって3点 $1,{\alpha }^2,z$ を通る円は原点を通る。