京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$P=(t,t^3)$ とおく。曲線 $C:y=x^3$ の $P$ における接線の傾きは $3t^2$ である。傾き $a$ の直線を反時計回りに ${45}^{\circ }$ 回転すると、方向ベクトル $(1,a)$ は $(1-a,1+a)$ に移る。したがって、$a=1$ でなければ回転後の直線の傾きは ${\displaystyle \frac{1+a}{1-a}}$ である。

ここで $a=3t^2$ だから、$t^2\mathrm{\ne }1\mathrm{/}3$ のとき、回転後の直線 $L$ の傾き $m$ は $$m={\displaystyle \frac{3t^2+1}{1-3t^2}}$$ であり、直線 $L$ の方程式は $y-t^3=m(x-t)$ である。一方、$t^2=1\mathrm{/}3$ のときは回転後の直線が鉛直線 $x=t$ となり、曲線 $y=x^3$ とは $(t,t^3)$ の1点でしか交わらない。したがってこの場合は条件を満たさない。

以下、$t^2\mathrm{\ne }1\mathrm{/}3$ とする。$L$ と $C$ の交点の $x$ 座標は $x^3-t^3=m(x-t)$ を満たす。左辺を因数分解すると $$(x-t)(x^2+tx+t^2)=m(x-t)$$ であるから $(x-t)(x^2+tx+t^2-m)=0$ を得る。ここで $x=t$ は点 $P$ に対応する既知の交点である。

したがって $L$ が $C$ と相異なる3点で交わるためには、2次方程式 $x^2+tx+t^2-m=0$ が相異なる2つの実数解をもち、しかもその解が $t$ と一致しないことが必要十分である。判別式 $D$ は $D=t^2-4(t^2-m)=4m-3t^2$ である。$$m={\displaystyle \frac{3t^2+1}{1-3t^2}}$$ を代入すると $$D={\displaystyle \frac{4(3t^2+1)}{1-3t^2}}-3t^2={\displaystyle \frac{9t^4+9t^2+4}{1-3t^2}}$$ となる。分子 $9t^4+9t^2+4$ は常に正であるから、$D>0$ となる条件は $1-3t^2>0$ すなわち $$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<t<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。

また、残りの2次方程式に $x=t$ を代入すると $3t^2-m$ となる。もしこれが0なら $m=3t^2$ であるが、$${\displaystyle \frac{3t^2+1}{1-3t^2}}=3t^2$$ は $3t^2+1=3t^2-9t^4$ を意味し、$9t^4+1=0$ となって実数 $t$ では不可能である。よって上の範囲で得られる2つの根は、どちらも $t$ とは異なる。

以上より、求める点 $P$ の範囲は、曲線 $y=x^3$ 上で $$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<x<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ を満たす部分である。

接点を $P=(t,t^3)$、別の交点を $Q=(s,s^3)$ とおく。
弦 $PQ$ の傾きと、接線を45度回転した直線の傾きを等置すると
$s$ の二次方程式になる。判別式の符号だけで交点数を判定する。

接点を $P=(t,t^3)$ とする。接線の傾きは $3t^2$ であり、
これを反時計回りに45度回転した直線の傾きは$$m={\displaystyle \frac{1+3t^2}{1-3t^2}}$$である。ただし $t^2=1\mathrm{/}3$ では回転後の直線は鉛直で、交点は $P$ だけである。

$P$ 以外の交点を $Q=(s,s^3)$ とする。弦 $PQ$ の傾きは$${\displaystyle \frac{s^3-t^3}{s-t}}=s^2+st+t^2$$だから、$Q$ が回転後の直線上にある条件は$$s^2+ts+t^2-m=0.$$この二次方程式が相異なる2実根をもつ条件は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =t^2-4(t^2-m)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9t^4+9t^2+4}{1-3t^2}}>0.}\end{array}$$分子は常に正なので$$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<t<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$また $s=t$ が二次方程式の解なら $m=3t^2$ だが、
これを上の $m$ へ代入すると $9t^4+1=0$ となり不可能である。

したがって求める範囲は、曲線 $y=x^3$ 上の$$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<x<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$の部分である。