京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$F(x)=x^3+3a{x}^2+3bx$ とおく。$y=F(x)$ と $y=c$ のグラフが相異なる3つの交点をもつということは、方程式 $F(x)=c$ が相異なる3つの実数解をもつということである。

まず $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+6ax+3b=3\{(x+a{)}^2-(a^2-b)\}$$ である。相異なる3つの実数解をもつ3次方程式では、解と解の間に導関数が0になる点がある。したがって $F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は相異なる2つの実数解をもつ必要がある。よって $a^2-b>0$ であり、$a^2>b$ が示された。

以下 $$d=\sqrt{a^2-b}>0,u=x+a$$ とおく。$x=u-a$ として $F(x)-c$ を整理すると、ある実数 $C$ を用いて $F(x)-c=u^3-3d^{2}u-C$ と書ける。そこで $G(u)=u^3-3d^{2}u-C$ とおく。求める3つの $x$ 座標に対応する $u$ は、$G(u)=0$ の相異なる3実根である。

導関数は $$G^{\mathrm{\prime }}(u)=3u^2-3d^2=3(u+d)(u-d)$$ である。したがって $G$ は$$(-\mathrm{\infty },-d)\text{ で増加},(-d,d)\text{ で減少},(d,\mathrm{\infty })\text{ で増加}$$する。3つの実根をもつためには、極大値が正、極小値が負でなければならない。すなわち $$G(-d)=2d^3-C>0,G(d)=-2d^3-C<0$$ である。これより $-2d^3<C<2d^3$ を得る。

この不等式を用いて $u=\pm 2d$ での値を調べると、$$G(-2d)=(-8d^3)+6d^3-C=-2d^3-C<0$$ であり、$$G(2d)=8d^3-6d^3-C=2d^3-C>0$$ である。 $G$ は $(-\mathrm{\infty },-d)$ で増加し、$G(-2d)<0<G(-d)$ であるから、左側の根は $(-2d,-d)$ にある。また $(-d,d)$ で減少し、$G(-d)>0>G(d)$ であるから、中央の根は $(-d,d)$ にある。さらに $(d,\mathrm{\infty })$ で増加し、$G(d)<0<G(2d)$ であるから、右側の根は $(d,2d)$ にある。

したがって3つの実根はすべて $-2d<u<2d$ を満たす。$u=x+a$, $$d=\sqrt{a^2-b}$$ であるから、すべての交点の $x$ 座標は $$-a-2\sqrt{a^2-b}<x<-a+2\sqrt{a^2-b}$$ に含まれる。

3つの交点の $x$ 座標を $-a+u_1,-a+u_2,-a+u_3$ と置く。
変数を平行移動した3次式では $u_1+u_2+u_3=0$ である。
解と係数の関係から3根の2乗和を求めると $a^2>b$ が直ちに従い、
他の2根が相異なることを使うだけで各 $\mathrm{\mid }{u}_i\mathrm{\mid }$ の鋭い上界も得られる。

交点の $x$ 座標を $x_1,x_2,x_3$ とし$$u_i=x_i+a(i=1,2,3)$$とおく。$x=u-a$ と平行移動すると方程式は$$u^3+3(b-a^2)u-C=0$$の形になる。解と係数の関係より$$u_1+u_2+u_3=0,u_1{u}_2+u_2{u}_3+u_3{u}_1=3(b-a^2)\mathrm{.}$$したがって$$u_1^2+u_2^2+u_3^2=6(a^2-b)\mathrm{.}$$3根は相異なり、左辺は0ではないから $a^2-b>0$、すなわち $a^2>b$ である。$$d=\sqrt{a^2-b}$$ とおく。

例えば $u_1$ について、$u_2+u_3=-u_1$ であり
$u_2\mathrm{\ne }{u}_3$ だから$$2(u_2^2+u_3^2)>(u_2+u_3{)}^2=u_1^2\mathrm{.}$$ゆえに$$3u_1^2<2(u_1^2+u_2^2+u_3^2)=12d^2,\mathrm{\mid }{u}_1\mathrm{\mid }<2d\mathrm{.}$$$u_2,u_3$ にも同じ議論が使えるので、全根について $\mathrm{\mid }{u}_i\mathrm{\mid }<2d$。
$x_i=u_i-a$ へ戻せば$$-a-2\sqrt{a^2-b}<x_i<-a+2\sqrt{a^2-b}$$が示される。