京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

純虚数解を $x=ti$ とおく。ただし $t$ は実数である。$i^2=-1$ より、各べきは $$x^2=-t^2,x^3=-t^{3}i,x^4=t^4,x^5=t^{5}i$$ と表される。これを与えられた方程式に代入して実部と虚部を比較すると $t^4-t^2+a=0$ および $t(t^4+t^2-a-1)=0$ を得る。

まず $t=0$ のとき、実部の式から $a=0$ である。実際、$x=0$ はこのとき純虚数解である。

次に $t\mathrm{\ne }0$ とする。このとき虚部の式から $t^4+t^2-a-1=0$ すなわち $a=t^4+t^2-1$ である。これを実部の式 $t^4-t^2+a=0$ に代入すると $t^4-t^2+t^4+t^2-1=0$ より $2t^4-1=0$ を得る。したがって $$t^4={\displaystyle \frac{1}{2}},t^2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。$t^2$ は正なので、対応する実数 $t$ は存在する。

このとき $$a=t^4+t^2-1={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-1={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{2}}$$ となる。

以上より、求める $a$ の値は $$a=0,{\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{2}}$$ である。

原点が解になる場合を先に調べる。
非零の純虚数解があれば共役も解なので、$x^2+u$ を因子にもち、
残りを三次式として係数比較する。

多項式を$$P(x)=x^5+x^4-x^3+x^2-(a+1)x+a$$とする。$x=0$ が解となるのは $a=0$ のときである。

非零の純虚数 $ti$ が解であるとする。$u=t^2>0$ とおけば、
実係数多項式なので $-ti$ も解であり、$$P(x)=(x^2+u)(x^3+b{x}^2+cx+d)$$と書ける。係数比較により$$b=1,c+u=-1,d+u=1,$$$$cu=-(a+1),du=a\mathrm{.}$$したがって$$c=-1-u,d=1-u,a=u-u^2\mathrm{.}$$一方、$cu=-(a+1)$ へ代入すると$$-u-u^2=-(u-u^2+1),$$すなわち$$2u^2=1.$$$u>0$ より $u=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ であり、$$a=u-u^2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{2}}\mathrm{.}$$よって答えは$$a=0,{\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{2}}$$である。