京都大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) 微分積分学の基本定理より$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathrm{.}$$また$$f(1)={\int }_0^1{\displaystyle \frac{dt}{1+t^2}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$従って $x=1$ における接線の傾きは $1\mathrm{/}2$、法線の傾きは $-2$ である。求める法線は$$y-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-2(x-1),$$すなわち$$y=-2x+2+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$である。

(2) 法線の $x$ 軸との交点は$$x=1+{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$である。法線と曲線の差を $h(x)$ とすると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=-2-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}<0,h(1)=0$$だから、$x<1$ では法線が曲線より上にあり、両者は $x=1$ 以外では交わらない。従って求める面積は$${\int }_0^{1}f(x)dx$$と、底辺 $\pi \mathrm{/}8$、高さ $\pi \mathrm{/}4$ の三角形の面積との和である。

部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}& {\displaystyle ={[xf(x)]}_0^1-{\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log 2.}\end{array}$$また三角形の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{8}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{64}}\mathrm{.}$$よって求める面積は$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log 2+{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{64}}$$である。

法線は微分で求める。面積の曲線部分は部分積分を使わず、
$f(x)$ を二重積分と見て積分順序を交換する。残りは法線が作る三角形である。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}},f(1)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$なので、法線の傾きは $-2$ である。従って$$y=-2x+2+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$(2)
法線と $x$ 軸の交点は $x=1+\pi \mathrm{/}8$ である。
法線と曲線の差の導関数は$$-2-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}<0$$だから、両者の交点は $x=1$ の一点だけである。

曲線下の面積は、積分順序を交換して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_0^1{\int }_0^x{\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}dtdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1{\displaystyle \frac{1-t}{1+t^2}}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log 2.}\end{array}$$$x=1$ から法線の $x$ 切片までの部分は、底辺 $\pi \mathrm{/}8$、
高さ $\pi \mathrm{/}4$ の三角形なので、その面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{8}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{64}}\mathrm{.}$$従って求める面積は$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log 2+{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{64}}\mathrm{.}$$