京都大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$$\omega =e^{{\displaystyle \frac{2\pi i}{3}}}$$ とする。3根は一辺 $\sqrt{3}$ の正三角形の頂点だから、ある複素数 $w,u$ を用いて$${\alpha }_1=w+u,{\alpha }_2=w+u\omega ,{\alpha }_3=w+u{\omega }^2,\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1$$と表せる。これらを根にもつ多項式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x-w{)}^3-u^3}& {\displaystyle =x^3-3w{x}^2+3w^{2}x-(w^3+u^3)\mathrm{.}}\end{array}$$係数比較により$$a=-3w,b=3w^2,w^3+u^3=-1.$$$a$ は実数だから $w$ は実数である。また $\mathrm{\mid }{u}^3\mathrm{\mid }=1$ で、$u^3=-1-w^3$ は実数だから$$-1-w^3=1\text{または}-1-w^3=-1.$$したがって$$w=-\sqrt[3]{2}\text{または}w=0.$$前者では $u^3=1$、後者では $u^3=-1$ と取れて、いずれも条件を満たす。よって$$(a,b)=(3\sqrt[3]{2},3\sqrt[3]{4}),(0,0)$$がすべてである。

実係数3次式なので根の集合は共役で不変である。実根1個と共役な2根を置き、正三角形の辺長条件から中心を決める。

3根は正三角形を作り、係数が実数なので、1根を実数 $r$、残りを$$x\pm yi$$と書ける。共役な2根の距離から$$2\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=\sqrt{3},y^2={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$実根との距離も $\sqrt{3}$ だから$$(r-x{)}^2+y^2=3,r-x=\pm {\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$三角形の重心を $w$ とすると$$w={\displaystyle \frac{r+2x}{3}}\mathrm{.}$$$$r-x={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ の場合は$$r=w+1,x=w-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$根の積が $-1$ なので$$(w+1)\{{(w-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}\}=w^3+1=-1,$$すなわち $w^3=-2$ である。$$r-x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ の場合は$$r=w-1,x=w+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$であり、同様に$$(w-1)\{{(w+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}\}=w^3-1=-1,$$よって $w=0$ である。

根の和と2根積の和から$$a=-3w,b=3w^2\mathrm{.}$$したがって$$(a,b)=(0,0),(a,b)=(3\sqrt[3]{2},3\sqrt[3]{4})$$である。