京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$f(x)=x\sin x$ とおくと $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin x+x\cos x$ である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1$$ であり、接線の傾きは $1$、法線の傾きは $-1$ である。点 $({\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ を通るから、法線は $$y-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=-(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$ すなわち $y=\pi -x$ である。 $$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ において $g(x)=\pi -x-x\sin x$ とおくと $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-1-\sin x-x\cos x<0$$ であり、$$g({\displaystyle \frac{\pi }{2}})=0$$ である。よってこの区間で法線 $y=\pi -x$ は曲線 $y=x\sin x$ の上側にある。したがって、求める体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\{(\pi -x{)}^2-(x\sin x{)}^2\}dx$$である。

まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}(\pi -x{)}^{2}dx}& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{(\pi -x{)}^3}{3}}]}_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7{\pi }^3}{24}}\mathrm{.}}\end{array}$$次に、$${\sin }^{2}x={\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}$$ を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{x}^2{\sin }^{2}xdx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{x}^{2}dx-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{x}^2\cos 2xdx\mathrm{.}}\end{array}$$部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{x}^2\cos 2xdx}& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{x^2\sin 2x}{2}}\right]}_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}-{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}x\sin 2xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}x\sin 2xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{[-{\displaystyle \frac{x\cos 2x}{2}}+{\displaystyle \frac{\sin 2x}{4}}]}_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{x}^2{\sin }^{2}xdx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{{\pi }^3}{24}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{48}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$以上より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{7{\pi }^3}{24}}-{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{48}}-{\displaystyle \frac{\pi }{8}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{13{\pi }^3}{48}}-{\displaystyle \frac{\pi }{8}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\pi }^2(13{\pi }^2-6)}{48}}\mathrm{.}}\end{array}$$

囲まれた領域の回転体を、直線 $y=\pi -x$ の下の回転体から曲線 $y=x\sin x$ の下の回転体を引いたものとして計算する。

接線の傾きは$$f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1$$なので、法線は$$y=\pi -x$$である。区間$$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ではこの直線が曲線の上側にある。

まず外側の回転体の体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}(\pi -x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7{\pi }^4}{24}}\mathrm{.}}\end{array}$$内側は$$V_{\mathrm{i}\mathrm{n}}=\pi {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{x}^2{\sin }^{2}xdx\mathrm{.}$$半角公式と2回の部分積分により$${\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{x}^2{\sin }^{2}xdx={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{48}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =V_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}-V_{\mathrm{i}\mathrm{n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7{\pi }^4}{24}}-({\displaystyle \frac{{\pi }^4}{48}}+{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\pi }^2(13{\pi }^2-6)}{48}}\mathrm{.}}\end{array}$$