京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系乙）理系（乙）数学 第4問

$E$ を2次の単位行列、$T=a+d$ とする。$ad-bc=1$ を用いて直接計算すると$$A^2-TA+E=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$$${\vec{v}}_n=\overrightarrow{O{P}_n}=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$ とおけば$${\vec{v}}_{n+2}=T{\vec{v}}_{n+1}-{\vec{v}}_n\mathrm{.}$$また、上の行列恒等式に $A^{-1}$ を掛けると $A^{-1}=TE-A$ である。$$\vec{e}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$ とおけば ${\vec{v}}_1=A\vec{e}$、${\vec{v}}_2=A^2\vec{e}$ なので$$\vec{e}=T{\vec{v}}_1-{\vec{v}}_2\mathrm{.}$$仮定より $$\mathrm{\mid }\vec{e}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\vec{v}}_1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\vec{v}}_2\mathrm{\mid }=1$$ である。この等式の両辺の長さの平方をとると$$1=T^2+1-2T({\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2),$$したがって$$T\{T-2({\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2)\}=0.$$まず $T=0$ のとき、この漸化式は ${\vec{v}}_{n+2}=-{\vec{v}}_n$ となるから、$\mathrm{\mid }{\vec{v}}_1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\vec{v}}_2\mathrm{\mid }=1$ より全ての $n$ で $\mathrm{\mid }{\vec{v}}_n\mathrm{\mid }=1$ である。

次に $T\mathrm{\ne }0$ とする。$$c_0={\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2$$ とおけば、上の等式より $T=2c_0$ である。ある $n$ について$$\mathrm{\mid }{\vec{v}}_n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\vec{v}}_{n+1}\mathrm{\mid }=1,{\vec{v}}_n\cdot {\vec{v}}_{n+1}=c_0$$が成り立つと仮定する。漸化式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{\vec{v}}_{n+2}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }T{\vec{v}}_{n+1}-{\vec{v}}_n{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =T^2+1-2T{c}_0=1,}\end{array}$$また$${\vec{v}}_{n+1}\cdot {\vec{v}}_{n+2}=T-c_0=c_0\mathrm{.}$$したがってこの性質は $n+1$ でも成り立つ。$n=1$ では仮定により成立しているから、数学的帰納法により全ての自然数 $n$ について$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{P}_n}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\vec{v}}_n\mathrm{\mid }=1$$である。

第1列から $(x_1,y_1)=(a,c)$ と読み、長さ条件で $a^2+c^2=1$ を得る。次に $P_2$ の成分を $ad-bc=1$ で整理すると、2本目の長さ条件は $(a+d)(d-a)=0$ と同値になる。$d=a$ では回転型、$d=-a$ では $A^2=-E$ 型に分け、各場合で軌道の長さが保存されることを直接示す。

第1列を読むと$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)$$である。したがって $a^2+c^2=1$ である。また$$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}^2+bc\\ ac+cd\end{array}\right)\mathrm{.}$$$ad-bc=1$ より$$x_2=a(a+d)-1,y_2=c(a+d)\mathrm{.}$$これと $x_2^2+y_2^2=1$、$a^2+c^2=1$ を用いると$$\{a(a+d)-1{\}}^2+c^2(a+d{)}^2=1,$$すなわち$$(a+d)(d-a)=0.$$$d=a$ の場合、$a^2-bc=1$ と $a^2+c^2=1$ から $c(b+c)=0$ である。
$c\mathrm{\ne }0$ なら $b=-c$ なので$$A=\left(\begin{array}{cc}a& -c\\ c& a\end{array}\right),a^2+c^2=1.$$この行列は任意のベクトルの長さを保つ。$c=0$ なら $a=\pm 1$ であり、$$A^n(1,0{)}^T=((\pm 1{)}^n,0{)}^T$$ だから、やはり長さは1である。

$d=-a$ の場合、$-a^2-bc=1$ より$$A^2={\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}2}=-E\mathrm{.}$$したがって $$\overrightarrow{O{P}_{n+2}}=-\overrightarrow{O{P}_n}$$ であり、
$\overrightarrow{O{P}_1}$、$\overrightarrow{O{P}_2}$ の長さが1なら、すべての項の長さが1である。

以上より、すべての自然数 $n$ に対して$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{O{P}_n}\mathrm{\mid }=1$$が成り立つ。