京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$f(x)=x^3-2x^2-x+2$ とおく。微分すると $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x-1$ であり、点 $(1,0)$ における傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(1)=3-4-1=-2$ である。したがって接線 $l$ は $y=-2(x-1)=-2x+2$ である。

曲線と接線の差をとると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-(-2x+2)}& {\displaystyle =x^3-2x^2-x+2+2x-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^3-2x^2+x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x(x-1{)}^2}\end{array}$$である。よって交点は $x=0,1$ であり、$0<x<1$ では $x(x-1{)}^2>0$ だから、曲線 $y=f(x)$ は接線 $l$ より上にある。またこの区間では $$-2x+2\geqq 0,f(x)\geqq -2x+2\geqq 0$$ である。

したがって、求める体積 $V$ は $$V=\pi {\int }_0^1\{f(x{)}^2-(-2x+2{)}^2\}dx$$ である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x{)}^2-(-2x+2{)}^2}& {\displaystyle =\{f(x)-(-2x+2)\}\{f(x)+(-2x+2)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x(x-1{)}^2(x^3-2x^2-3x+4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^6-4x^5+2x^4+8x^3-11x^2+4x}\end{array}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1}& {\displaystyle \{f(x{)}^2-(-2x+2{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^7}{7}}-{\displaystyle \frac{2x^6}{3}}+{\displaystyle \frac{2x^5}{5}}+2x^4-{\displaystyle \frac{11x^3}{3}}+2x^2]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{7}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}+2-{\displaystyle \frac{11}{3}}+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{22}{105}}}\end{array}$$である。したがって $${\displaystyle V={\displaystyle \frac{22\pi }{105}}}$$ である。

$0\leqq x\leqq 1$では曲線が外側、接線が内側の半径になる。