京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系甲）理系（甲）数学 第4問

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とする。初期値は$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$であるから$$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)$$である。条件$x_2^2+y_2^2=1$より $a^2+c^2=1$ である。

次に$$\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}^2+bc\\ ac+cd\end{array}\right)$$である。ここで$ad-bc=1$より $bc=ad-1$ なので $$x_3=a^2+bc=a^2+ad-1=a(a+d)-1$$ であり，$y_3=ac+cd=c(a+d)$ である。$x_3^2+y_3^2=1$を用いると $$\{a(a+d)-1{\}}^2+c^2(a+d{)}^2=1$$ である。左辺を整理すると，$a^2+c^2=1$より $(a+d{)}^2-2a(a+d)+1=1$ となる。したがって $(a+d{)}^2-2a(a+d)=0$ すなわち $(a+d)(d-a)=0$ である。よって $$d=a\text{または}d=-a$$ である。

まず$d=a$の場合を考える。$ad-bc=1$より $a^2-bc=1$ である。一方$a^2+c^2=1$なので $bc=-c^2$ である。もし$c\mathrm{\ne }0$なら$b=-c$であり，$$A=\left(\begin{array}{cc}a& -c\\ c& a\end{array}\right),a^2+c^2=1$$となる。このとき任意のベクトル$(u,v{)}^T$について $$(au-cv{)}^2+(cu+av{)}^2=(a^2+c^2)(u^2+v^2)=u^2+v^2$$ であるから，$A$を掛けても長さは変わらない。したがってすべての$n$で $x_n^2+y_n^2=1$ である。 $d=a$かつ$c=0$の場合は，$a^2+c^2=1$より$a=\pm 1$である。このとき$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ 0\end{array}\right)$$であり，以後も第2成分は0のまま，第1成分は$\pm 1$に留まる。よってこの場合も長さは常に1である。

次に$d=-a$の場合を考える。$ad-bc=1$より $$-a^2-bc=1,bc=-(a^2+1)$$ である。直接計算すると$$A^2={\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab-ab\\ ac-ac& bc+a^2\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。したがって$$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+2}\\ y_{n+2}\end{array}\right)=A^2\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$$である。2つ進むごとに符号が変わるだけなので，長さは保たれる。

以上のすべての場合で $$x_n^2+y_n^2=1(n=1,2,3,\dots )$$ が成り立つ。

$T=a+d$、${\mathit{v}}_n=(x_n,y_n{)}^T$ とおく。$ad-bc=1$ から行列恒等式 $A^2-TA+E=O$ を直接確かめ、${\mathit{v}}_{n+2}=T{\mathit{v}}_{n+1}-{\mathit{v}}_n$ を得る。初期の3本の単位ベクトル ${\mathit{v}}_1,{\mathit{v}}_2,{\mathit{v}}_3$ の関係から $T=0$ または $T=2{\mathit{v}}_2\cdot {\mathit{v}}_3$ を導き、「長さ1」と「隣接内積一定」を同時に帰納する。

$E$ を2次の単位行列、$T=a+d$ とする。$ad-bc=1$ を用いて直接計算すると$$A^2-TA+E=O$$である。${\mathit{v}}_n=(x_n,y_n{)}^T$ とおけば$${\mathit{v}}_{n+2}=T{\mathit{v}}_{n+1}-{\mathit{v}}_n$$を得る。特に$${\mathit{v}}_1=T{\mathit{v}}_2-{\mathit{v}}_3\mathrm{.}$$仮定と初期値より$$\mathrm{\mid }{\mathit{v}}_1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\mathit{v}}_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\mathit{v}}_3\mathrm{\mid }=1.$$上の等式の両辺の長さの平方をとると$$1=T^2+1-2T({\mathit{v}}_2\cdot {\mathit{v}}_3),$$したがって$$T\{T-2({\mathit{v}}_2\cdot {\mathit{v}}_3)\}=0.$$$T=0$ のときは ${\mathit{v}}_{n+2}=-{\mathit{v}}_n$ であるから、すべての項の長さは1である。

$T\mathrm{\ne }0$ のとき、$c_0={\mathit{v}}_2\cdot {\mathit{v}}_3$ とおけば $T=2c_0$ である。
ある $n\geqq 2$ について$$\mathrm{\mid }{\mathit{v}}_n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\mathit{v}}_{n+1}\mathrm{\mid }=1,{\mathit{v}}_n\cdot {\mathit{v}}_{n+1}=c_0$$が成り立つとする。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{\mathit{v}}_{n+2}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }T{\mathit{v}}_{n+1}-{\mathit{v}}_n{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =T^2+1-2T{c}_0=1,}\end{array}$$また$${\mathit{v}}_{n+1}\cdot {\mathit{v}}_{n+2}=T-c_0=c_0\mathrm{.}$$よってこの性質は次の組にも引き継がれる。$n=2$ では成立しているので、
数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ で$$x_n^2+y_n^2=1$$である。