京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（甲）数学 第6問

2つのグラフの交点を求める。 $x{e}^{1-x}=x$ より $x(e^{1-x}-1)=0$ である。したがって $x=0$ または $e^{1-x}=1$ であり、後者から $x=1$ を得る。よって交点は $x=0,1$ である。 $0<x<1$ では $e^{1-x}>1$ だから $x{e}^{1-x}>x$ である。したがって求める体積を $V$ とすると$$V=\pi {\int }_0^1\{(x{e}^{1-x}{)}^2-x^2\}dx=\pi {\int }_0^1\{x^2{e}^{2-2x}-x^2\}dx$$である。

まず $$I={\int }_0^1{x}^2{e}^{2-2x}dx=e^2{\int }_0^1{x}^2{e}^{-2x}dx$$ を計算する。部分積分を用いると $$\int x^2{e}^{-2x}dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2{e}^{-2x}+\int x{e}^{-2x}dx$$ であり、さらに $$\int x{e}^{-2x}dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x{e}^{-2x}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{-2x}$$ である。したがって $$\int x^2{e}^{-2x}dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2{e}^{-2x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}x{e}^{-2x}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{-2x}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle =e^2{[-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2{e}^{-2x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}x{e}^{-2x}-{\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{-2x}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^2(-{\displaystyle \frac{5}{4}}{e}^{-2}+{\displaystyle \frac{1}{4}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^2-5}{4}}}\end{array}$$となる。また $${\int }_0^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{e^2-5}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi (3e^2-19)}{12}}}}\end{array}$$である。

$0<x<1$では$e^{1-x}>1$なので、指数関数側が外側半径になる。