京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系（甲）数学 第5問

直線 $y=(\tan \alpha )x$ は、$x$ 軸となす角が $\alpha$ の原点を通る直線である。この直線に関する対称移動 $g$ は、偏角 $\theta$ の半直線を、直線の角 $\alpha$ を中心に折り返すので $\theta ⟼2\alpha -\theta$ と表される。

その後、変換 $f$ によって原点の周りに ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ だけ回転する。したがって合成変換 $f\circ g$ は $\theta ⟼2\alpha -\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ である。

一方、$x$ 軸に関する対称移動は $\theta ⟼-\theta$ である。よって、すべての $\theta$ について同じ変換になるためには $2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$ でなければならない。条件 $$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ より $-\pi <2\alpha <\pi$ であるから、この範囲で上の合同式を満たすのは $$2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=0$$ だけである。したがって $${\displaystyle \alpha =-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}}$$ である。

反射で偏角は$2\alpha -\theta$、続く回転で$2\alpha -\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$になる。

角$\alpha$の直線に関する反射行列と、角$\pi \mathrm{/}3$の回転行列を順に掛ける。積を$x$軸対称の行列と比較し、三角関数の2条件を$\alpha$の指定範囲で解く。

角$\alpha$の直線に関する対称移動の行列は$$G=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right)$$であり、${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$回転の行列は$$R=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。合成$f\circ g$の行列は、この順序に注意して$$RG=\left(\begin{array}{cc}\cos (2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})& \sin (2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\\ \sin (2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})& -\cos (2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\end{array}\right)\mathrm{.}$$これが$x$軸対称の行列$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$に等しい条件は$$\cos (2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=1,\sin (2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=0.$$したがって$$2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )\mathrm{.}$$指定された範囲では$$\alpha =-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$だけが条件を満たす。