京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方程式は $(x^2+ax+1)(3x^2+ax-3)=0$ であるから，$x^2+ax+1=0$ または $3x^2+ax-3=0$ を満たす実数 $x$ を数えればよい。

まず第1因子について，判別式は $D_1=a^2-4$ である。したがって実数解の個数は$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<2\text{ で }0\text{ 個},\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=2\text{ で }1\text{ 個},\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>2\text{ で }2\text{ 個}$$である。

次に第2因子について，判別式は $D_2=a^2+36$ であり，これは常に正である。したがって第2因子はすべての実数 $a$ に対して異なる2個の実数解をもつ。

ただし，2つの2次方程式が共通解をもつ場合は，その解を二重に数えてはいけない。共通解 $x$ があるとする。第1式から $ax=-x^2-1$ である。これを第2式に代入すると $$3x^2+ax-3=3x^2-(x^2+1)-3=2x^2-4=0$$ より $x^2=2$ である。さらに第1式から $ax=-3$ となるので，$$x=\sqrt{2}\text{ のとき }a=-{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}},x=-\sqrt{2}\text{ のとき }a={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}$$である。したがって共通解があるのは $$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}$$ のときに限られ，このとき共通解は1個である。なお $3\mathrm{/}\sqrt{2}>2$ である。

以上をまとめると，実数解の個数は$$\begin{array}{cc}\text{条件}& \text{実数解の個数}\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<2& 2\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=2& 3\\ 2<\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}& 4\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}& 3\\ \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>{\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}& 4\end{array}$$である。