京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第1問

問1

直線$l$の方向ベクトルは $$\overrightarrow{AB}=B-A=(-1+3,0+1,0-1)=(2,1,-1)$$ である。垂線の足$H$は直線$l$上にあるので，実数$t$を用いて $$H=A+t\overrightarrow{AB}=(-3,-1,1)+t(2,1,-1)$$ と表せる。すなわち $H=(-3+2t,-1+t,1-t)$ である。 $CH$が直線$l$に垂直であるから $$(C-H)\cdot \overrightarrow{AB}=0$$ である。ここで $C-H=(5-2t,4-t,2+t)$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (C-H)\cdot (2,1,-1)}& {\displaystyle =2(5-2t)+(4-t)-(2+t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =12-6t}\end{array}$$である。よって $12-6t=0,t=2$ となる。したがって $$H=(-3,-1,1)+2(2,1,-1)=(1,1,-1)$$ である。

問2

最初は白球2個，赤球1個である。失敗した場合，取り出した2個を袋に戻し，さらに赤球を1個加えるので，白球の個数は常に2個のままで，失敗するたびに赤球が1個増える。

したがって$k$回目の試行の直前には，白球が2個，赤球が$k$個，合計$k+2$個入っている。$k$回目に成功する確率は，白球2個を同時に取り出す確率なので$${\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_{k+2}{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{1}{(k+2)(k+1)\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{(k+1)(k+2)}}$$である。よって$k$回目に失敗する確率は$$1-{\displaystyle \frac{2}{(k+1)(k+2)}}={\displaystyle \frac{(k+1)(k+2)-2}{(k+1)(k+2)}}={\displaystyle \frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)}}$$である。

求める確率は、1回目から $n-1$ 回目まで失敗し、$n$ 回目に成功する確率であるから$$({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdots {\displaystyle \frac{n-1}{n}})({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}\cdots {\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}){\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+2)}}$$である。2つの積をそれぞれ約分すると$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdots {\displaystyle \frac{n-1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}\cdots {\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}={\displaystyle \frac{n+2}{3}}$$である。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{n+2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{2}{3n(n+1)}}$$である。