京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第4問

$\theta =\mathrm{\angle }AOB$ とおく。$\mathrm{△}OAB$は鋭角三角形なので $$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。 $\mathrm{△}OAB$を辺$OB$に関して折り返すと，点$A$は点$C$に移る。したがって $$OC=OA,\mathrm{\angle }BOC=\mathrm{\angle }AOB=\theta$$ である。次に，$\mathrm{△}OBC$を辺$OC$に関して折り返すと，点$B$は点$D$に移るので $$OD=OB,\mathrm{\angle }COD=\mathrm{\angle }BOC=\theta$$ である。さらに，$\mathrm{△}OCD$を辺$OD$に関して折り返すと，点$C$は点$E$に移るので $$OE=OC=OA,\mathrm{\angle }DOE=\mathrm{\angle }COD=\theta$$ である。

したがって，点$B,C,D,E$の方向は，$O$を中心に角$\theta$ずつ進んでいく。よって、$OB$ から $OE$ までの有向角は $3\theta$ である。通常の角が折り返す場合も、面積にはその正弦の絶対値が現れる。

三角形の面積を正弦で表すと $$[\mathrm{△}OAB]={\displaystyle \frac{1}{2}}OA\cdot OB\sin \theta$$ であり，$$[\mathrm{△}OBE]={\displaystyle \frac{1}{2}}OB\cdot OE\mathrm{\mid }\sin 3\theta \mathrm{\mid }$$ である。$OE=OA$より$${\displaystyle \frac{[\mathrm{△}OBE]}{[\mathrm{△}OAB]}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\sin 3\theta \mathrm{\mid }}{\sin \theta }}$$である。条件は$$[\mathrm{△}OAB]:[\mathrm{△}OBE]=2:3$$なので $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\sin 3\theta \mathrm{\mid }}{\sin \theta }}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。 $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$より$\sin \theta >0$である。三倍角の公式 $$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$$ を用いると $$\mid 3-4{\sin }^2\theta \mid ={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。

ここで $$3-4{\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ なら ${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{3}{8}}$ である。一方 $$3-4{\sin }^2\theta =-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ なら ${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{9}{8}}$ となり不可能である。よって ${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{3}{8}}$ であり，$\sin \theta >0$だから $$\sin \mathrm{\angle }AOB={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$ である。

折り返しで進む角

各折り返しで方向角が $\theta$ ずつ進むため，$OB$ から $OE$ までの有向角は $3\theta$ となる。