京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（文系）文系数学 第4問

$R=OB$ とおき，$${\displaystyle u=\frac{AB}{R}}$$ とする。正十角形の隣り合う2頂点 $A,B$ に対して，中心角は $${\displaystyle \mathrm{\angle }AOB=\frac{{360}^{\circ }}{10}={36}^{\circ }}$$ である。したがって弦の長さより $AB=2R\sin {18}^{\circ }$ なので $u=2\sin {18}^{\circ }$ である。

ここで $s=\sin {18}^{\circ }$ とおく。$3\cdot {18}^{\circ }={54}^{\circ }$ であり，$$\sin {54}^{\circ }=\cos {36}^{\circ }$$ である。三倍角の公式と二倍角の公式を使うと $3s-4s^3=1-2s^2$ となる。これを整理すると $4s^3-2s^2-3s+1=0$ である。左辺は $$4s^3-2s^2-3s+1=(s-1)(4s^2+2s-1)$$ と因数分解できる。$s=\sin {18}^{\circ }\mathrm{\ne }1$ だから $4s^2+2s-1=0$ である。$u=2s$ より $u^2+u-1=0$ を得る。

次に $${\displaystyle v=\frac{OP}{R}}$$ とおく。点 $P$ は線分 $OB$ 上にあるから $PB=OB-OP=R-vR=(1-v)R$ である。条件 $O{P}^2=OB\cdot PB$ を代入すると $(vR{)}^2=R\cdot (1-v)R$ であり，$R>0$ だから $v^2=1-v$ すなわち $v^2+v-1=0$ である。 $u=AB\mathrm{/}R$ も $v=OP\mathrm{/}R$ も正であり，同じ2次方程式 $t^2+t-1=0$ を満たす。この方程式の正の解は1つだけであるから $u=v$ である。

したがって $${\displaystyle \frac{AB}{OB}=\frac{OP}{OB}}$$ であり，$OB>0$ より $OP=AB$ が成り立つ。

正十角形の黄金三角形

$C\in OA,BC=AB=s$ と取ると相似から $s^2=OB(OB-s)$。$P$ は同じ長さ比を満たす。

正十角形の中心と隣接2頂点が作る三角形の角は${36}^{\circ },{72}^{\circ },{72}^{\circ }$ である。辺上に同じ形の小三角形を作って相似比から $A{B}^2=OB(OB-AB)$ を導き、点 $P$ の条件と一致させる。

$R=OA=OB$、$s=AB$ とおく。正十角形の中心角より$$\mathrm{\angle }AOB={36}^{\circ },\mathrm{\angle }OAB=\mathrm{\angle }OBA={72}^{\circ }$$である。

線分 $OA$ 上に $BC=BA=s$ となる点 $C$ を取る。三角形
$ABC$ は $BA=BC$ の二等辺三角形で、$C\in OA$ より
$\mathrm{\angle }BAC={72}^{\circ }$ である。したがって$$\mathrm{\angle }ACB={72}^{\circ },\mathrm{\angle }ABC={36}^{\circ }\mathrm{.}$$また$$\mathrm{\angle }OBC=\mathrm{\angle }OBA-\mathrm{\angle }CBA={36}^{\circ }$$だから、三角形 $OBC$ は二等辺三角形で$$OC=BC=s,AC=R-s$$となる。

三角形 $ABC$ と三角形 $OAB$ は、それぞれの角が
${36}^{\circ },{72}^{\circ },{72}^{\circ }$ なので相似である。対応する辺から$$\frac{AB}{OA}=\frac{AC}{AB},\frac{s}{R}=\frac{R-s}{s}$$を得る。すなわち$$s^2=R(R-s)\mathrm{.}$$一方、$p=OP$ とおくと $PB=R-p$ であり、問題の条件は$$p^2=R(R-p)$$である。$s,p$ はともに $0<t<R$ にある方程式$$t^2=R(R-t)$$の解である。左辺は狭義増加、右辺は狭義減少だから、この範囲の解は
ただ1つである。よって $p=s$、すなわち$$OP=AB$$が成り立つ。