京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系・甲）理系（甲）数学 第5問

まず$$S={\int }_0^{\pi }\sin xdx={[-\cos x]}_0^{\pi }=2$$である。

次に $T$ を求める。$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $\sin x$ も $a\cos x$ も非負である。2曲線の交点を $x=\alpha$ とすると $\sin \alpha =a\cos \alpha$ である。$a>0$ なので $${\displaystyle 0<\alpha <\frac{\pi }{2},\tan \alpha =a}$$ である。

したがって$$\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{1+a^2}},\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$$である。 $0\leqq x<\alpha$ では $\tan x<a$ だから $\sin x<a\cos x$ であり，$\alpha <x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $\sin x>a\cos x$ である。よって囲まれる図形の面積 $T$ は$$T={\int }_0^{\alpha }\sin xdx+{\int }_{\alpha }^{\pi \mathrm{/}2}a\cos xdx$$である。これを計算すると$$T={[-\cos x]}_0^{\alpha }+a{[\sin x]}_{\alpha }^{\pi \mathrm{/}2}=1-\cos \alpha +a(1-\sin \alpha )$$である。上の $\sin \alpha ,\cos \alpha$ を代入して $${\displaystyle T=1-\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+a(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}})}$$ $${\displaystyle =1+a-\frac{1+a^2}{\sqrt{1+a^2}}=1+a-\sqrt{1+a^2}}$$ である。

条件 $S:T=3:1$ と $S=2$ より $${\displaystyle T=\frac{2}{3}}$$ である。したがって $${\displaystyle 1+a-\sqrt{1+a^2}=\frac{2}{3}}$$ すなわち $${\displaystyle a+\frac{1}{3}=\sqrt{1+a^2}}$$ である。両辺は正なので2乗してよい。2乗すると $${\displaystyle a^2+\frac{2a}{3}+\frac{1}{9}=1+a^2}$$ であり，$${\displaystyle \frac{2a}{3}=\frac{8}{9}}$$ より $${\displaystyle a=\frac{4}{3}}$$ を得る。

確認すると，$a=4\mathrm{/}3$ のとき $${\displaystyle a+\frac{1}{3}=\frac{5}{3},\sqrt{1+a^2}=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}}$$ であり，元の式を満たす。したがって求める値は $${\displaystyle a=\frac{4}{3}}$$ である。

面積 $T$ の上下境界

$0\leqq x\leqq \alpha$ では $\sin x$、その後は $a\cos x$ が下側になる。