京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系・乙）理系（乙）数学 第3問

まず$$S={\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$$である。$0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ において2曲線が交わるとすると$$\sin \alpha =a\cos \alpha ,\tan \alpha =a\mathrm{.}$$したがって$$\sin \alpha =\frac{a}{\sqrt{1+a^2}},\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\mathrm{.}$$閉領域の上端は $0\leqq x\leqq \alpha$ では $y=\sin x$、$\alpha \leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $y=a\cos x$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_0^{\alpha }\sin xdx+{\int }_{\alpha }^{\pi \mathrm{/}2}a\cos xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\cos \alpha +a(1-\sin \alpha )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+a-\sqrt{1+a^2}\mathrm{.}}\end{array}$$条件 $S:T=3:1$ と $S=2$ より $T=2\mathrm{/}3$ である。したがって$$1+a-\sqrt{1+a^2}=\frac{2}{3},\sqrt{1+a^2}=a+\frac{1}{3}\mathrm{.}$$両辺は正なので2乗して$$1+a^2=a^2+\frac{2a}{3}+\frac{1}{9}$$となる。これを解くと$$a=\frac{4}{3}$$である。この値は正で、もとの等式も満たす。

面積 $T$ の上下境界

$0\leqq x\leqq \alpha$ では $\sin x$、その後は $a\cos x$ が下側になる。