京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系甲）理系（甲）数学 第1問

問1

平面$OEG$上の2つのベクトルは $$\overrightarrow{OE}=(3,0,a),\overrightarrow{OG}=(0,2,a)$$ である。この平面に垂直なベクトル$\mathit{n}=(u,v,w)$は $$\mathit{n}\cdot (3,0,a)=0,\mathit{n}\cdot (0,2,a)=0$$ を満たせばよい。例えば $\mathit{n}=(-2a,-3a,6)$ と取れる。実際，$$(-2a,-3a,6)\cdot (3,0,a)=-6a+6a=0$$ かつ $$(-2a,-3a,6)\cdot (0,2,a)=-6a+6a=0$$ である。

したがって，$D(0,0,a)$を通り平面$OEG$に垂直な直線は，実数$\lambda$を用いて $$(x,y,z)=(0,0,a)+\lambda (-2a,-3a,6)$$ と表せる。すなわち $$(x,y,z)=(-2a\lambda ,-3a\lambda ,a+6\lambda )$$ である。

辺$BC$は$B(3,2,0)$と$C(0,2,0)$を結ぶ線分なので，その上の点は $$y=2,z=0,0\leqq x\leqq 3$$ を満たす。よって交点では $$-3a\lambda =2,a+6\lambda =0$$ である。第2式より $$\lambda =-{\displaystyle \frac{a}{6}}$$ であり，これを第1式に代入すると $$-3a(-{\displaystyle \frac{a}{6}})=2,{\displaystyle \frac{a^2}{2}}=2$$ となる。$a>0$より $a=2$ である。このとき $\lambda =-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ であり，$$x=-2a\lambda =-4(-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ である。これは$0\leqq x\leqq 3$を満たす。したがって $$a=2,P=({\displaystyle \frac{4}{3}},2,0)$$ である。

問2

失敗した場合，取り出した2球を袋に戻し，さらに赤球を1個加える。したがって白球の個数は常に2個であり，失敗するたびに赤球だけが1個増える。 $k$回目の直前には，白球2個，赤球$k$個，合計$k+2$個が袋に入っている。よって$k$回目の成功確率は$${\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_2}{{}_{k+2}{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{2}{(k+1)(k+2)}}$$である。したがって失敗確率は $$1-{\displaystyle \frac{2}{(k+1)(k+2)}}={\displaystyle \frac{k(k+3)}{(k+1)(k+2)}}$$ である。

求める確率は$$({\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdots {\displaystyle \frac{n-1}{n}})({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}\cdots {\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}){\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+2)}}$$である。2つの積はそれぞれ$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdots {\displaystyle \frac{n-1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}\cdots {\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}={\displaystyle \frac{n+2}{3}}$$と約分できる。したがって$${\displaystyle \frac{1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{n+2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{2}{3n(n+1)}}$$である。

問1の位置関係

模式図。点 $D$ から平面 $OEG$ への法線が辺 $BC$ と交わる。