京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系甲）理系（甲）数学 第2問

$\theta =\mathrm{\angle }{A}_{1}O{A}_2$ とおく。三角形なので $0<\theta <\pi$ である。 $\mathrm{△}O{A}_1{A}_2$と$\mathrm{△}O{A}_2{A}_3$が辺$O{A}_2$に関して対称であるから，$A_1$を辺$O{A}_2$について折り返した点が$A_3$である。したがって $$O{A}_3=O{A}_1,\mathrm{\angle }{A}_{2}O{A}_3=\theta$$ である。同様に次の折り返しで $$O{A}_4=O{A}_2,\mathrm{\angle }{A}_{3}O{A}_4=\theta$$ となり，さらに $$O{A}_5=O{A}_3=O{A}_1,\mathrm{\angle }{A}_{4}O{A}_5=\theta$$ となる。よって、$O{A}_2$ から $O{A}_5$ までの有向角は $3\theta$ であり、通常の角の取り方や向きによらず、面積には $\mathrm{\mid }\sin 3\theta \mathrm{\mid }$ が現れる。

したがって $$[\mathrm{△}O{A}_1{A}_2]={\displaystyle \frac{1}{2}}O{A}_1\cdot O{A}_2\sin \theta$$ であり，$$[\mathrm{△}O{A}_2{A}_5]={\displaystyle \frac{1}{2}}O{A}_2\cdot O{A}_5\mathrm{\mid }\sin 3\theta \mathrm{\mid }$$ である。$O{A}_5=O{A}_1$より，面積比は$${\displaystyle \frac{[\mathrm{△}O{A}_2{A}_5]}{[\mathrm{△}O{A}_1{A}_2]}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\sin 3\theta \mathrm{\mid }}{\sin \theta }}$$である。

三倍角の公式を用いると $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\sin 3\theta \mathrm{\mid }}{\sin \theta }}=\mathrm{\mid }3-4{\sin }^2\theta \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }4{\cos }^2\theta -1\mathrm{\mid }$$ である。ここで$$0\leqq {\cos }^2\theta \leqq 1$$なので，$\mathrm{\mid }4{\cos }^2\theta -1\mathrm{\mid }$は0以上3以下である。ただし値が3になるのは${\cos }^2\theta =1$，すなわち$\theta =0,\pi$の場合であり，三角形が退化するので除かれる。したがって正の整数倍となるには，値は1または2である。

まず $\mathrm{\mid }4{\cos }^2\theta -1\mathrm{\mid }=2$ のとき，可能なのは $4{\cos }^2\theta -1=2$ であり，${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{3}{4}}$ である。よって $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$$ である。

次に $\mathrm{\mid }4{\cos }^2\theta -1\mathrm{\mid }=1$ のとき，$4{\cos }^2\theta -1=1$ または $4{\cos }^2\theta -1=-1$ である。したがって ${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ または ${\cos }^2\theta =0$ であり，$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$ である。

以上より求める値は$${\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$$である。

対称移動の模式図

$O{A}_5=O{A}_1$ であり，$O{A}_2$ から $O{A}_5$ までの有向角は $3\theta$ である。