京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系乙）理系（乙）数学 第5問

極方程式から$$x=(2+\cos \theta )\cos \theta ,y=(2+\cos \theta )\sin \theta$$である。また$${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}=-\sin \theta \cos \theta -(2+\cos \theta )\sin \theta =-2\sin \theta (1+\cos \theta )\leqq 0$$であるから、$x$ は $0\leqq \theta \leqq \pi$ で単調に減少する。したがって円板法により、求める体積を $V$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =-\pi {\int }_0^{\pi }{y}^2{\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{\pi }(2+\cos \theta {)}^2{\sin }^3\theta (1+\cos \theta )d\theta \mathrm{.}}\end{array}$$$u=\cos \theta$ とおくと $du=-\sin \theta d\theta$、${\sin }^2\theta =1-u^2$ であるから$$V=2\pi {\int }_{-1}^1(2+u{)}^2(1-u^2)(1+u)du\mathrm{.}$$被積分関数を展開すると$$(2+u{)}^2(1-u^2)(1+u)=4+8u+u^2-7u^3-5u^4-u^5\mathrm{.}$$奇関数の項の積分は0なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_{-1}^1(4+u^2-5u^4)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi (8+{\displaystyle \frac{2}{3}}-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{40\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$回転前の領域

$x(\theta )$ は単調に減少するため，$x$ に垂直な円板で重複なく積分できる。