京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系・乙）理系（乙）数学 第5問

(1) $n=1$ のとき$$3^2-1=8$$であり、$2^3$ で割り切れるが $2^4$ では割り切れない。

ある正の整数 $n$ について$$3^{2^n}-1=2^{n+2}q$$と書け、$q$ が奇数であると仮定する。$3^{2^n}$ は4で割ると1余るので、$3^{2^n}+1$ は2で割り切れるが4では割り切れない。したがって、ある奇数 $q^{\mathrm{\prime }}$ を用いて$$3^{2^n}+1=2q^{\mathrm{\prime }}$$と書ける。よって$$3^{2^{n+1}}-1=(3^{2^n}-1)(3^{2^n}+1)=2^{n+3}q{q}^{\mathrm{\prime }}$$であり、$2^{n+3}$ で割り切れるが $2^{n+4}$ では割り切れない。数学的帰納法により、全ての正の整数 $n$ について題意が成り立つ。

(2) $m$ は正の偶数だから$$m=2^{n}q$$と書ける。ただし $n\geqq 1$、$q$ は正の奇数である。$A=3^{2^n}$ とおくと$$3^m-1=A^q-1=(A-1)(1+A+A^2+\cdots +A^{q-1})\mathrm{.}$$第2因子は奇数を $q$ 個加えた数なので奇数である。(1)より $A-1$ は $2^{n+2}$ で割り切れるが $2^{n+3}$ では割り切れない。したがって $3^m-1$ も $2^{n+2}$ で割り切れるが $2^{n+3}$ では割り切れない。

仮定より $2^m$ が $3^m-1$ を割り切るので$$m\leqq n+2.$$一方 $m=2^{n}q\geqq 2^n$ だから $2^n\leqq n+2$ である。$n=3$ では $2^3>3+2$ であり、$2^n>n+2$ なら $2^{n+1}>2(n+2)>n+3$ なので、数学的帰納法により $n\geqq 3$ では $2^n>n+2$ である。したがって、$n=1$ または $n=2$ だけを調べればよい。

$n=1$ のとき $2q=m\leqq 3$ かつ $q$ は正の奇数なので $q=1$、$m=2$ である。$n=2$ のとき $4q=m\leqq 4$ より $q=1$、$m=4$ である。したがって $m=2$ または $m=4$ である。