京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（文系）文系数学 第1問

(1) 点 $(1,2)$ を通り傾き $a$ の直線は $y=a(x-1)+2=ax-a+2$ である。放物線 $y=x^2$ との交点の $x$ 座標は $x^2=ax-a+2$ すなわち $x^2-ax+a-2=0$ の解である。この2解を $\alpha ,\beta$ $\alpha <\beta$ とする。

判別式を $D$ とすると $$D=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=(a-2{)}^2+4$$ である。したがって $$\beta -\alpha =\sqrt{D}$$ である。 $\alpha \leqq x\leqq \beta$ では直線が放物線の上にあるので，囲まれる面積は$$S(a)={\int }_{\alpha }^{\beta }\{a(x-1)+2-x^2\}dx$$である。ここで $$a(x-1)+2-x^2=-(x^2-ax+a-2)=-(x-\alpha )(x-\beta )=(x-\alpha )(\beta -x)$$ だから$$S(a)={\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx$$となる。$u=x-\alpha$ とおくと，積分区間は $$0\leqq u\leqq \beta -\alpha$$ であり，$$S(a)={\int }_0^{\beta -\alpha }u(\beta -\alpha -u)du=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}=\frac{D^{3\mathrm{/}2}}{6}$$である。

よって $S(a)$ を最小にするには $D$ を最小にすればよい。$0\leqq a\leqq 6$ において $D=(a-2{)}^2+4$ は $a=2$ で最小となる。したがって求める値は $a=2$ である。

(2) $BC=x$ とおく。角の二等分線の定理より $BD:DC=AB:AC=2:1$ であるから $${\displaystyle BD=\frac{2}{3}x}$$ である。条件 $AD=BD$ より $${\displaystyle AD=\frac{2}{3}x}$$ である。

角の二等分線の長さの公式を用いると，$AB=2$，$AC=1$ なので$$A{D}^2=AB\cdot AC\{1-\frac{B{C}^2}{(AB+AC{)}^2}\}=2(1-\frac{x^2}{9})$$である。一方，$AD=2x\mathrm{/}3$ だから $${\displaystyle A{D}^2=\frac{4x^2}{9}}$$ である。よって $${\displaystyle \frac{4x^2}{9}=2(1-\frac{x^2}{9})}$$ となり，整理して $$4x^2=18-2x^2,6x^2=18$$ より $x^2=3$ を得る。

次に余弦定理より$$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4+1-3}{2\cdot 2\cdot 1}=\frac{1}{2}$$である。したがって $0<A<\pi$ より $${\displaystyle \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。

ゆえに $\mathrm{△}ABC$ の面積は$$\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。

角の二等分線と辺の比

$AD$ は $\mathrm{\angle }BAC$ の二等分線。条件 $AD=BD$ が辺長を決める。