京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
交点では$$x^4=x^2+2$$である。$X=x^2$ とおくと$$X^2-X-2=(X-2)(X+1)=0.$$$X\geqq 0$ より $x^2=2$ であり、交点の $x$ 座標は$$x=\pm \sqrt{2}$$である。区間 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ では $x=0$ のとき
$x^2+2>x^4$ であるから、上側が $y=x^2+2$、下側が
$y=x^4$ である。

2曲線と囲まれる領域の位置関係は次のようになる。

被積分関数は偶関数なので、求める面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(x^2+2-x^4)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^{\sqrt{2}}(x^2+2-x^4)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[\frac{x^3}{3}+2x-\frac{x^5}{5}]}_0^{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{56\sqrt{2}}{15}\mathrm{.}}\end{array}$$\newpage
(2)
同じ番号が書かれた2枚の札も、札そのものとしては区別して数える。
戻さずに3回取り出す順序つき全事象は$${}_{2n}{\mathrm{P}}_3=(2n)(2n-1)(2n-2)$$通りである。

$X_1<X_2<X_3$ となるには、3つの番号が相異なり、それらが小さい順に
出なければならない。3つの番号の選び方は$${}_n{\mathrm{C}}_3$$通りであり、各番号について2枚のどちらを取るかがそれぞれ2通りある。
したがって条件を満たす取り出し方は$$2^3{}_n{\mathrm{C}}_3$$通りである。よって確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{8{}_n{\mathrm{C}}_3}{(2n)(2n-1)(2n-2)}}& {\displaystyle =\frac{8\cdot n(n-1)(n-2)\mathrm{/}6}{2n(2n-1)\cdot 2(n-1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n-2}{3(2n-1)}\mathrm{.}}\end{array}$$

(1) は交点と上下関係から面積を積分する。(2)ではまず3回の番号がすべて異なる確率を逐次的に求める。その条件のもとでは、3つの相異なる番号の6つの出現順序が対称であるため、昇順になる確率は$1\mathrm{/}6$ である。直接的な順列計数とは異なる条件付き確率で結論を出す。

(1)
2曲線の交点は $x=\pm \sqrt{2}$ であり、その間では
$x^2+2\geqq x^4$ である。したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(x^2+2-x^4)dx}& {\displaystyle =2{[\frac{x^3}{3}+2x-\frac{x^5}{5}]}_0^{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{56\sqrt{2}}{15}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
まず、3回に現れる番号がすべて異なる確率を求める。1枚目を取った後、
残る $2n-1$ 枚のうち同じ番号の札は1枚だけなので、2枚目の番号が
1枚目と異なる確率は$$\frac{2n-2}{2n-1}$$である。

異なる2つの番号が出た後、残る $2n-2$ 枚のうち、すでに出た2番号の
もう1枚ずつを除く $2n-4$ 枚が新しい番号をもつ。したがって3番号が
すべて異なる確率は$$\frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-2}=\frac{2n-4}{2n-1}\mathrm{.}$$3番号が相異なるという条件のもとでは、その3番号の6つの出現順序は
対称で同様に確からしい。このうち
$X_1<X_2<X_3$ となるのは昇順の1通りだけである。よって求める確率は$$\frac{2n-4}{2n-1}\cdot \frac{1}{6}=\frac{n-2}{3(2n-1)}\mathrm{.}$$