京都大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

絶対値の中身は $\frac{3}{4}{x}^2-3$ であり、これは $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2$ で0以下、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 2$ で0以上である。したがってグラフは $$y=1-\frac{3}{4}{x}^2(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2)$$ および $$y=\frac{3}{4}{x}^2-5(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 2)$$ で表される。

まず $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2$ で直線 $y=x$ と交わる点を求める。 $x=1-\frac{3}{4}{x}^2$ より $3x^2+4x-4=0$ であるから $(3x-2)(x+2)=0$ となり、$x=-2,x=\frac{2}{3}$ を得る。

次に $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 2$ で交点を求める。 $x=\frac{3}{4}{x}^2-5$ より $3x^2-4x-20=0$ であるから $(3x-10)(x+2)=0$ となり、$$x=-2,x=\frac{10}{3}$$ を得る。

したがって、囲まれる部分は、$[-2,2\mathrm{/}3]$ と $[2\mathrm{/}3,10\mathrm{/}3]$ にできる2つの部分である。ただし後者は $x=2$ で絶対値の式が切り替わる。よって面積は$${\int }_{-2}^{\frac{2}{3}}(1-\frac{3}{4}{x}^2-x)dx+{\int }_{\frac{2}{3}}^2(x-1+\frac{3}{4}{x}^2)dx+{\int }_2^{\frac{10}{3}}(x-\frac{3}{4}{x}^2+5)dx$$である。

それぞれ計算すると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-2}^{\frac{2}{3}}(1-\frac{3}{4}{x}^2-x)dx}& {\displaystyle =\frac{64}{27},}\\ {\displaystyle {\int }_{\frac{2}{3}}^2(x-1+\frac{3}{4}{x}^2)dx}& {\displaystyle =\frac{64}{27},}\\ {\displaystyle {\int }_2^{\frac{10}{3}}(x-\frac{3}{4}{x}^2+5)dx}& {\displaystyle =\frac{80}{27}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は $$\frac{64}{27}+\frac{64}{27}+\frac{80}{27}=\frac{208}{27}$$ である。