方針
まず ∣x∣≦2 の条件から、絶対値の中身 43x2−3 が常に0以下であることを確認する。上側の境界は y=1−43x2 となるので、直線 y=x と放物線の上下関係を調べる。面積は、x≦1−43x2 が成り立つ範囲だけを積分区間に取り、上から下を引いて求める。
解答
条件 ∣x∣≦2 より 0≦x2≦4 である。したがって 43x2−3≦43⋅4−3=0 なので、この範囲では 43x2−3=3−43x2 である。よって第3の不等式は y≦3−43x2−2=1−43x2 となる。
したがって領域は −2≦x≦2,x≦y≦1−43x2 を満たす部分である。ただし、このような y が存在するためには x≦1−43x2 が必要である。これを整理すると 3x2+4x−4≦0 であり、3x2+4x−4=(3x−2)(x+2) だから −2≦x≦32 である。
よって求める面積は∫−232{(1−43x2)−x}dxである。原始関数は x−2x2−4x3 なので、∫−232(1−43x2−x)dx=[x−2x2−4x3]−232=(32−92−272)−(−2−2+2)=2710+2=2764.
総評
絶対値付きの不等式を、与えられた ∣x∣≦2 によって放物線へ戻す問題である。最初からグラフ全体を描こうとすると、∣x∣>2 側の枝まで考えてしまい、この設問では不要な計算が増える。得点点は、上側が 1−43x2、下側が x であること、さらに領域が存在する x の範囲が [−2,2/3] に縮むことの2つである。目安時間は15分程度。
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出典: 京都大学 2011年度 前期日程 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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