京都大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

$AB=12,AC=10,BC=11$ である。$AD$ は $\mathrm{\angle }A$ の二等分線なので、角の二等分線の定理より $BD:DC=AB:AC=12:10=6:5$ である。よって $BD=6,DC=5$ となる。

角の二等分線により $BD:DC=6:5$ となる。

角の二等分線の長さの公式 $$A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$$ を用いると、$$A{D}^2=12\cdot 10-6\cdot 5=120-30=90$$ である。したがって、長さは正であるから $$AD=3\sqrt{10}$$ である。

同じ計算を公式 $$A{D}^2=AB\cdot AC\{1-\frac{B{C}^2}{(AB+AC{)}^2}\}$$ に直接代入しても、$$A{D}^2=12\cdot 10(1-\frac{{11}^2}{{22}^2})=120\cdot \frac{3}{4}=90$$ となる。

(2)

1回の試行で2枚のカードを選ぶ方法は ${}_9{\mathrm{C}}_2=36$ 通りで、どれも同様に確からしい。小さい方の数が $k$ となるのは、選ばれた2枚が $k\text{ と }k+1,k+2,\dots ,9$ のいずれかであるときである。したがって $$P(X=k)=\frac{9-k}{36}(k=1,2,\dots ,8)$$ である。$k=9$ は小さい方にはなれないので含めない。

カードを戻してから2回目を行うので、$X$ と $Y$ の分布は同じで、しかも独立である。よって$$P(X=Y)=\sum _{k=1}^{8}P(X=k)P(Y=k)=\sum _{k=1}^8{\left(\frac{9-k}{36}\right)}^2$$である。ここで $9-k$ は $8,7,\dots ,1$ を動くから、$$P(X=Y)=\frac{1^2+2^2+\cdots +8^2}{{36}^2}=\frac{\frac{8\cdot 9\cdot 17}{6}}{1296}=\frac{204}{1296}=\frac{17}{108}$$である。

(1) は角の二等分線の定理で $BD,DC$ を求めたあと、三角形 $ABC$ に
Stewart の定理を適用して $AD$ を直接決定する。(2) は2回の選択結果を
順序対として一括して数え、小さい数が一致する有利な組を $8^2+7^2+\cdots +1^2$
通りと数える。

(1)

角の二等分線の定理より$$BD:DC=AB:AC=12:10=6:5$$であり、$BC=11$ だから $BD=6,DC=5$ である。

三角形 $ABC$ の線分 $AD$ に Stewart の定理を用いると$$A{C}^2\cdot BD+A{B}^2\cdot DC=BC\{A{D}^2+BD\cdot DC\}$$である。数値を代入して$${10}^2\cdot 6+{12}^2\cdot 5=11(A{D}^2+6\cdot 5)$$を得る。左辺は $1320$ なので$$11A{D}^2=1320-330=990,A{D}^2=90.$$長さは正であるから$$AD=3\sqrt{10}$$である。

(2)

1回の選択結果は、9枚から2枚を選ぶ ${}_9{\mathrm{C}}_2=36$ 通りである。
2回の結果を順序つきで並べれば、全事象は ${36}^2$ 通りで、すべて同様に確からしい。

共通の最小値が $k$ であるためには、各回で $k$ と
$k+1,\dots ,9$ のいずれかを選べばよい。各回の選び方は $9-k$ 通りなので、
2回とも最小値が $k$ となる組は $(9-k{)}^2$ 通りである。よって有利な組は$$\sum _{k=1}^8(9-k{)}^2=1^2+2^2+\cdots +8^2=\frac{8\cdot 9\cdot 17}{6}=204$$通りである。したがって$$P(X=Y)=\frac{204}{{36}^2}=\frac{17}{108}\mathrm{.}$$