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京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系・甲）理系（乙）数学 第1問

四面体ABCDにおいてCA→とCB→，
DA→とDB→，
AB→とCD→は
それぞれ垂直であるとする．
このとき，頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は
辺CDと直交することを示せ．

難易度5/ 10計算量3/ 10目安18分

ベクトル、論証・証明　内積の利用、座標設定、式変形

方針

辺 CD の中点 M を原点に置き，C,D を v⃗,−v⃗ と対称に表す。すると，C から A,B へのベクトルと，D から A,B へのベクトルが符号違いで書けるので，2つの垂直条件の差から v⃗⋅(a⃗+b⃗)=0 を得る。さらに AB⊥CD から v⃗⋅(b⃗−a⃗)=0 を得て，この2式を合わせて v⃗ が MA，MB の両方に垂直であることを示す。

解答

辺 CD の中点を M とする。M を原点にとり，MC→=v⃗,MD→=−v⃗ とおく。また MA→=a⃗,MB→=b⃗ とおく。

まず，CA→⊥CB→ よりCA→=a⃗−v⃗,CB→=b⃗−v⃗であるから (a⃗−v⃗)⋅(b⃗−v⃗)=0 である。すなわちa⃗⋅b⃗−a⃗⋅v⃗−b⃗⋅v⃗+v⃗⋅v⃗=0である。

同様に，DA→⊥DB→ よりDA→=a⃗+v⃗,DB→=b⃗+v⃗だから (a⃗+v⃗)⋅(b⃗+v⃗)=0 である。すなわちa⃗⋅b⃗+a⃗⋅v⃗+b⃗⋅v⃗+v⃗⋅v⃗=0である。

この2式を引くと 2(a⃗⋅v⃗+b⃗⋅v⃗)=0 となるので v⃗⋅(a⃗+b⃗)=0 を得る。

一方，AB→⊥CD→ である。ここでAB→=b⃗−a⃗,CD→=MD→−MC→=−2v⃗だから (b⃗−a⃗)⋅v⃗=0 である。すなわち v⃗⋅(b⃗−a⃗)=0 である。

以上の2式 v⃗⋅(a⃗+b⃗)=0,v⃗⋅(b⃗−a⃗)=0 を足し引きすると v⃗⋅a⃗=0,v⃗⋅b⃗=0 を得る。

これは，CD の方向ベクトルである v⃗ が，平面 ABM 上の2本の直線 MA，MB の方向にともに垂直であることを意味する。四面体は退化していないので，A,B,M は一直線上にはなく，MA と MB は平面 ABM の2つの異なる方向を与える。

したがって，CD は平面 ABM に垂直である。すなわち，頂点 A，頂点 B，辺 CD の中点 M を通る平面は，辺 CD と直交する。

辺 CD と平面 ABM

M は CD の中点。CD⊥MA と CD⊥MB を示せばよい。

総評

目安時間は18分前後。中点を原点に置いて C,D を対称に表すと，2つの直角条件が和差で処理できる。採点上は，CA→⊥CB→ と DA→⊥DB→ を内積式に直し，そこから v⃗⋅(a⃗+b⃗)=0 を出す部分が中心である。最後に，1本の直線が平面内の2つの独立な方向に垂直なら平面に垂直である，という結論まで明確に書くとよい。

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出典: 京都大学 2010年度 前期 数学（理系甲）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。