京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系・乙）理系（乙）数学 第6問

各ボールの入る箱は $2n$ 通りで、ボールごとに独立に選ぶから、全ての入れ方は $(2n{)}^n$ 通りである。どの箱にも1個以下しか入らないためには、$n$ 個のボールが全て異なる箱に入ればよい。その入れ方は$${}_{2n}{\mathrm{P}}_n=(2n)(2n-1)\cdots (n+1)$$通りである。したがって$$p_n=\frac{(2n)(2n-1)\cdots (n+1)}{(2n{)}^n}\mathrm{.}$$因子の順序を逆にして対数を取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\log p_n}{n}}& {\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log \frac{n+k}{2n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log \left(\frac{1+k\mathrm{/}n}{2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$右辺は関数 $\log \{(1+x)\mathrm{/}2\}$ の区間 $[0,1]$ における区分求積和である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log p_n}{n}}& {\displaystyle ={\int }_0^1\log \left(\frac{1+x}{2}\right)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[(1+x)\log \left(\frac{1+x}{2}\right)-(1+x)]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log 2-1.}\end{array}$$したがって求める極限値は $\log 2-1$ である。