京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

まず $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ を用いる。$a,b$ はどちらも3で割り切れないので、3で割った余りはそれぞれ1または2である。$a^3\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$、$b^3\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから、$a^3+b^3$ が3で割り切れるためには $a+b\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ でなければならない。

そこで $a+b=3k$ とおく。このとき $b=3k-a$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2-ab+b^2}& {\displaystyle =a^2-a(3k-a)+(3k-a{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3a^2-9ak+9k^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(a^2-3ak+3k^2)}\end{array}$$である。括弧内は3で割ると $a^2$ と同じ余りになる。$a$ は3で割り切れないので $a^2$ も3で割り切れない。したがって $a^2-ab+b^2$ は3で割り切れるが、9では割り切れない。

よって $a^3+b^3$ が $81=3^4$ で割り切れるためには、$(a+b)$ の方が少なくとも $3^3=27$ で割り切れる必要がある。逆に、$27\mid a+b$ なら、第2因子に少なくとも1個の3が含まれるので、$a^3+b^3$ は81で割り切れる。したがって条件は $27\mid a+b$ と同値である。

あとは自然数 $a,b$ について、$a+b$ が27の倍数で、かつ $a,b$ が3で割り切れないものの中で $a^2+b^2$ を最小にすればよい。最小の可能性は $a+b=27$ である。固定した和のもとでは、2つの数ができるだけ近いときに2乗和が最小になる。実際、$$a^2+b^2=\frac{(a+b{)}^2+(a-b{)}^2}{2}$$ なので、$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$ が最小のとき最小である。

和が27のとき、最も近い自然数の組は $(a,b)=(13,14),(14,13)$ であり、どちらも3で割り切れない。このとき $$a^2+b^2={13}^2+{14}^2=169+196=365$$ である。

なお、$a+b\geqq 54$ の場合は $$a^2+b^2\geqq \frac{(a+b{)}^2}{2}\geqq \frac{{54}^2}{2}=1458>365$$ なので、より小さくなることはない。したがって求める組と値は $$(a,b)=(13,14),(14,13),a^2+b^2=365$$ である。