京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

交点を求める。 $$\sin (x+\frac{\pi }{8})=\sin 2x$$ である。$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では、$$x+\frac{\pi }{8}=2x$$ または $$x+\frac{\pi }{8}=\pi -2x$$ を考えればよい。前者から $$x=\frac{\pi }{8}$$ を得る。後者から $$3x=\frac{7\pi }{8}$$ なので $$x=\frac{7\pi }{24}$$ である。

問題文で $x=0$ と $x=\pi \mathrm{/}2$ は領域を囲む線とは考えないとされているので、求める領域はこの2つの内部交点の間で囲まれる部分である。例えば $x=\pi \mathrm{/}6$ を代入すると$$\sin 2x=\sin \frac{\pi }{3},\sin (x+\frac{\pi }{8})=\sin \frac{7\pi }{24}$$であり、この区間では $\sin 2x$ が上側である。したがって回転体の体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_{\pi \mathrm{/}8}^{7\pi \mathrm{/}24}\{{\sin }^{2}2x-{\sin }^2(x+\frac{\pi }{8})\}dx$$である。

ここで $${\sin }^{2}u-{\sin }^{2}v=\sin (u+v)\sin (u-v)$$ を用いると、被積分関数は $\sin (3x+\frac{\pi }{8})\sin (x-\frac{\pi }{8})$ である。さらに積和公式より$$\sin (3x+\frac{\pi }{8})\sin (x-\frac{\pi }{8})=\frac{1}{2}\{\cos (2x+\frac{\pi }{4})-\cos 4x\}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{V}{\pi }}& {\displaystyle ={\int }_{\pi \mathrm{/}8}^{7\pi \mathrm{/}24}\frac{1}{2}\{\cos (2x+\frac{\pi }{4})-\cos 4x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{1}{4}\sin (2x+\frac{\pi }{4})-\frac{1}{8}\sin 4x]}_{\pi \mathrm{/}8}^{7\pi \mathrm{/}24}}\end{array}$$である。上端 $x=7\pi \mathrm{/}24$ では$$\sin (2x+\frac{\pi }{4})=\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2},\sin 4x=\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$$である。下端 $x=\pi \mathrm{/}8$ では$$\sin (2x+\frac{\pi }{4})=\sin \frac{\pi }{2}=1,\sin 4x=\sin \frac{\pi }{2}=1$$である。よって$$\frac{V}{\pi }=(\frac{1}{8}+\frac{1}{16})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{8})=\frac{1}{16}$$であり $$V=\frac{\pi }{16}$$ である。