京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$C_1:y=1\mathrm{/}x$ と円 $C_2$ の交点を $(x,1\mathrm{/}x)(x>0)$ とおく。この点における $C_1$ の接線の傾きは $-\frac{1}{x^2}$ であり、線分 $O(x,1\mathrm{/}x)$ の傾きは $$\frac{1\mathrm{/}x}{x}=\frac{1}{x^2}$$ である。

2直線のなす角を $\varphi$ とすると、傾きの公式より$$\tan \varphi =\mid \frac{-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{1+(-\frac{1}{x^2})\left(\frac{1}{x^2}\right)}\mid =\frac{2x^2}{\mathrm{\mid }{x}^4-1\mathrm{\mid }}$$である。条件より $\varphi =\pi \mathrm{/}6$ だから $$\frac{2x^2}{\mathrm{\mid }{x}^4-1\mathrm{\mid }}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ である。$u=x^2$ とおくと $\mathrm{\mid }{u}^2-1\mathrm{\mid }=2\sqrt{3}u$ となる。$u>1$ の場合は $u^2-1=2\sqrt{3}u$ より $u=2+\sqrt{3}$、$0<u<1$ の場合は $1-u^2=2\sqrt{3}u$ より $u=2-\sqrt{3}$ である。したがって2交点の $x$ 座標は $$x_1=\sqrt{2-\sqrt{3}},x_2=\sqrt{2+\sqrt{3}}$$ である。

円の半径を $r$ とすると、交点では $$r^2=x^2+\frac{1}{x^2}=u+\frac{1}{u}$$ である。$u=2+\sqrt{3}$ と $u=2-\sqrt{3}$ は互いに逆数なので、どちらの場合も $r^2=4$ である。よって円は $x^2+y^2=4$ であり、第1象限では $$y=\sqrt{4-x^2}$$ で表される。 $x_1<x<x_2$ では円弧が双曲線より上にある。その位置関係は次図のとおりである。

したがって求める面積 $S$ は$$S={\int }_{x_1}^{x_2}(\sqrt{4-x^2}-\frac{1}{x})dx$$である。円の部分の積分では $x=2\sin t$ とおく。$x=x_1,x_2$ はそれぞれ $t=\pi \mathrm{/}12,5\pi \mathrm{/}12$ に対応し、$dx=2\cos tdt$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{4-x^2}dx}& {\displaystyle ={\int }_{\pi \mathrm{/}12}^{5\pi \mathrm{/}12}4{\cos }^{2}tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2t+\sin 2t]}_{\pi \mathrm{/}12}^{5\pi \mathrm{/}12}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\pi }{3}\mathrm{.}}\end{array}$$最後の等号では $$\sin (5\pi \mathrm{/}6)=\sin (\pi \mathrm{/}6)=1\mathrm{/}2$$ を用いた。一方、双曲線の部分は$${\int }_{x_1}^{x_2}\frac{1}{x}dx=\log \frac{x_2}{x_1}$$である。ここで $$\frac{x_2}{x_1}=2+\sqrt{3}$$ だから$${\int }_{x_1}^{x_2}\frac{1}{x}dx=\log (2+\sqrt{3})$$である。

したがって求める面積は $\frac{2\pi }{3}-\log (2+\sqrt{3})$ である。

接点 $(x,y)$ では、双曲線 $xy=1$ の接線方向ベクトルを $(x,-y)$、半径方向を $(x,y)$ と取れる。角の条件から円の半径を2と決める。その後、極座標で双曲線を $r^2=2\mathrm{/}\sin 2\theta$、円を $r=2$ と表し、2つの半径平方の差を角度で積分する。

交点Aを $(x,y)$ とする。双曲線 $xy=1$ の接線方向ベクトルには $(x,-y)$ を取れる。実際、法線方向 $(y,x)$ との内積は0である。一方、半径 $OA$ の方向ベクトルは $(x,y)$ である。

この2つのベクトルの長さはともに $\sqrt{x^2+y^2}$ である。なす角が $\pi \mathrm{/}6$ だから$$\frac{\mathrm{\mid }{x}^2-y^2\mathrm{\mid }}{x^2+y^2}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$円の半径を $R$ とすれば $x^2+y^2=R^2$ であり、$xy=1$ より$$(x^2-y^2{)}^2=(x^2+y^2{)}^2-4x^2{y}^2=R^4-4.$$したがって$$\frac{R^4-4}{R^4}=\frac{3}{4}$$となり、$R^4=16$ である。半径は正なので $R=2$ である。

極座標 $$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$ を用いる。双曲線 $xy=1$ は$$r^2\cos \theta \sin \theta =1,r^2=\frac{2}{\sin 2\theta }$$と表され、円は $r=2$ である。交点では$$4=\frac{2}{\sin 2\theta }$$だから、第1象限にある2交点の偏角は$$\theta =\frac{\pi }{12},\theta =\frac{5\pi }{12}$$である。この間では円が外側、双曲線が内側にある。したがって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_{\pi \mathrm{/}12}^{5\pi \mathrm{/}12}(4-\frac{2}{\sin 2\theta })d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2\theta -\frac{1}{2}\log (\tan \theta )]}_{\pi \mathrm{/}12}^{5\pi \mathrm{/}12}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\tan \frac{5\pi }{12}=2+\sqrt{3},\tan \frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$である。よって$$S=\frac{2\pi }{3}-\log (2+\sqrt{3})$$である。