京都大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

2枚のカードの選び方は ${}_9{\mathrm{C}}_2=36$ 通りである。小さい方の数が $k$ となるには、もう1枚が $k$ より大きい数であればよい。したがって $$P(X=k)=\frac{9-k}{36}(k=1,2,\dots ,8)$$ である。

2回目はカードを戻してから行うので、$X$ と $Y$ は独立であり、同じ分布をもつ。よって$$P(X=Y)=\sum _{k=1}^8{\left(\frac{9-k}{36}\right)}^2=\frac{1^2+2^2+\cdots +8^2}{{36}^2}$$である。ここで $$1^2+2^2+\cdots +8^2=\frac{8\cdot 9\cdot 17}{6}=204$$ だから $$P(X=Y)=\frac{204}{1296}=\frac{17}{108}$$ である。

(2)

求める積分を$$I={\int }_0^{\frac{1}{2}}(x+1)\sqrt{1-2x^2}dx$$とおく。まず$$I={\int }_0^{\frac{1}{2}}x\sqrt{1-2x^2}dx+{\int }_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-2x^2}dx$$と分ける。

第1項について、$u=1-2x^2$ とおくと $du=-4xdx$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}x\sqrt{1-2x^2}dx}& {\displaystyle =-\frac{1}{4}{\int }_1^{\frac{1}{2}}{u}^{1\mathrm{/}2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}{\int }_{\frac{1}{2}}^1{u}^{1\mathrm{/}2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}{\left[u^{3\mathrm{/}2}\right]}_{\frac{1}{2}}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{6}(1-\frac{1}{2\sqrt{2}})\mathrm{.}}\end{array}$$第2項について、$u=\sqrt{2}x$ とおくと $dx=du\mathrm{/}\sqrt{2}$ であり、$${\int }_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-2x^2}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}{\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\sqrt{1-u^2}du$$である。$$y=\sqrt{1-u^2}$$ は単位円の上半分である。

青い領域は、中心角 $\pi \mathrm{/}4$ の扇形と直角三角形の和である。

$0\leqq u\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ の部分は、中心角 $\pi \mathrm{/}4$ の扇形から直角二等辺三角形を見れば、面積 $\frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}$ である。よって$${\int }_0^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-2x^2}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\pi }{8}+\frac{1}{4})=\frac{\sqrt{2}\pi }{16}+\frac{\sqrt{2}}{8}$$である。

以上を合わせると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle =\frac{1}{6}(1-\frac{1}{2\sqrt{2}})+\frac{\sqrt{2}\pi }{16}+\frac{\sqrt{2}}{8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{2}}{24}+\frac{\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}\pi }{16}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{\sqrt{2}\pi }{16}\mathrm{.}}\end{array}$$

(1) は2回の選択を一つの順序対として直接数える。(2) は
$x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta$ とおき、積分全体を
$\sin \theta {\cos }^2\theta$ と ${\cos }^2\theta$ の基本積分へ一度に変換する。
円の面積公式を使わず、三角関数の積分だけで値を確定する。

(1)

1回の選び方は ${}_9{\mathrm{C}}_2=36$ 通りなので、2回の選択結果は
${36}^2$ 通りである。両方の最小値が $k$ となる結果は
$(9-k{)}^2$ 通りであるから、有利な結果は$$\sum _{k=1}^8(9-k{)}^2=1^2+2^2+\cdots +8^2=204$$通りである。よって$$P(X=Y)=\frac{204}{{36}^2}=\frac{17}{108}\mathrm{.}$$(2)$$x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta$$とおく。$0\leqq x\leqq \frac{1}{2}$ に対して$$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{4}$$ であり、$$dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta d\theta ,\sqrt{1-2x^2}=\cos \theta$$となる。したがって、求める積分 $I$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta +1)\cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\sin \theta {\cos }^2\theta d\theta +\frac{1}{\sqrt{2}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\cos }^2\theta d\theta \mathrm{.}}\end{array}$$第1項は$$\frac{1}{2}{[-\frac{{\cos }^3\theta }{3}]}_0^{\pi \mathrm{/}4}=\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{2}}{24}$$である。また $${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$$ より、第2項は$$\frac{1}{\sqrt{2}}{[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}]}_0^{\pi \mathrm{/}4}=\frac{\sqrt{2}\pi }{16}+\frac{\sqrt{2}}{8}\mathrm{.}$$以上を加えて$$I=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{\sqrt{2}\pi }{16}\mathrm{.}$$