京都大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

点 $P$ は $l$ 上にあるので $$P=A+s\vec{u}=(1+2s,s,-2-s)$$ とおく。

まず、$m$ 上の点を $$Q=B+t\vec{v}=(1+t,2-t,-3+t)$$ とおく。$Q$ が $P$ から $m$ に下ろした垂線の足であるためには、$P-Q$ が $m$ の方向ベクトル $\vec{v}=(1,-1,1)$ と垂直であること、すなわち $(P-Q)\cdot \vec{v}=0$ が必要十分である。ここで $$P-Q=(2s-t,s-2+t,1-s-t)$$ だから $$(2s-t)-(s-2+t)+(1-s-t)=3-3t$$ である。したがって $t=1$ となり、$Q=(2,1,-2)$ である。このとき $P-Q=(2s-1,s-1,-s)$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =(2s-1{)}^2+(s-1{)}^2+s^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6s^2-6s+2}\end{array}$$である。

次に、$n$ 上の点を $$R=C+r\vec{w}=(1+r,-1+2r,r)$$ とおく。垂線条件は $(P-R)\cdot \vec{w}=0$ である。ここで $$P-R=(2s-r,s+1-2r,-2-s-r)$$ だから $$(2s-r)+2(s+1-2r)+(-2-s-r)=3s-6r$$ である。したがって $$r=\frac{s}{2}$$ となる。よって $$R=(1+\frac{s}{2},-1+s,\frac{s}{2})$$ であり、$$P-R=(\frac{3s}{2},1,-2-\frac{3s}{2})$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{R}^2}& {\displaystyle ={\left(\frac{3s}{2}\right)}^2+1+{(2+\frac{3s}{2})}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9}{2}{s}^2+6s+5}\end{array}$$である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2+P{R}^2}& {\displaystyle =(6s^2-6s+2)+(\frac{9}{2}{s}^2+6s+5)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{21}{2}{s}^2+7}\end{array}$$となる。これは $s=0$ のとき最小である。したがって求める点は $P=(1,0,-2)$ であり、そのときの値は $P{Q}^2+P{R}^2=7$ である。

垂線の足そのものを求めず、点と直線の距離をベクトルの射影で直接表す。直線上の点を $P=A+s\vec{u}$ とおき、方向ベクトル $\vec{d}$ の直線までの距離の平方$$\mathrm{\mid }X{\mathrm{\mid }}^2-\frac{(X\cdot \vec{d}{)}^2}{\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2}$$を直線 $m,n$ にそれぞれ適用する。2つの距離平方を足すと1次の項が消え、最小値が直ちに読める。

直線 $l$ 上の点を$$P=A+s\vec{u}=(1+2s,s,-2-s)$$とおく。点 $P$ から、点 $B$ を通り方向ベクトル $\vec{v}$ をもつ直線 $m$ までの距離の平方は$$P{Q}^2=\mathrm{\mid }P-B{\mathrm{\mid }}^2-\frac{\{(P-B)\cdot \vec{v}{\}}^2}{\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2}$$である。

ここで$$P-B=(2s,s-2,1-s),(P-B)\cdot \vec{v}=3,\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=3$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =\{6s^2-6s+5\}-\frac{3^2}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6s^2-6s+2.}\end{array}$$同様に、点 $C$ を通り方向ベクトル $\vec{w}$ をもつ直線 $n$ について$$P-C=(2s,s+1,-2-s),(P-C)\cdot \vec{w}=3s,\mathrm{\mid }\vec{w}{\mathrm{\mid }}^2=6$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{R}^2}& {\displaystyle =\{6s^2+6s+5\}-\frac{(3s{)}^2}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9}{2}{s}^2+6s+5.}\end{array}$$よって$$P{Q}^2+P{R}^2=\frac{21}{2}{s}^2+7$$である。最小値は $s=0$ のときの $7$ であり、このとき$$P=A=(1,0,-2)$$となる。