方針
整数 n について n3≡n(mod3) が成り立つことを使い，n3−7n+9 が常に3で割り切れることを示す。素数は正の約数を1と自分自身しかもたない正の整数なので，3で割り切れる素数なら値は3に限られる。あとは n3−7n+9=3 を因数分解して整数解を求め，実際に値が3になることを確認する。
解答
任意の整数 n について n3≡n(mod3) である。したがって n3−7n+9≡n−n+0≡0(mod3) であり，n3−7n+9 は常に3で割り切れる。
この値が素数であるとする。素数は正の整数であり，しかも3で割り切れるので，その値は 3 でなければならない。よって n3−7n+9=3 を解けばよい。これは n3−7n+6=0 すなわち (n−1)(n−2)(n+3)=0 である。したがって n=−3, 1, 2 を得る。
実際，これらの値では n3−7n+9=3 となるので素数である。以上より，求める整数は −3, 1, 2 である。
別解
解法2
方針
式を 3+(n−1)(n−2)(n+3) と変形する。3つの因子 n−2,n−1,n+3 は3で割った余りが互いに異なるので，その積は必ず3の倍数である。したがって元の式も3の倍数であり，素数になるには3に等しいことが必要である。
解答
恒等式n3−7n+9=3+(n−1)(n−2)(n+3)を用いる。
3整数 n−2,n−1,n+3 を3で割った余りは，順序を除けば 0,1,2 である。したがって3∣(n−1)(n−2)(n+3)であり，n3−7n+9 も3の倍数である。
この値が素数なら，正の素数で3の倍数であるからn3−7n+9=3でなければならない。よって(n−1)(n−2)(n+3)=0となり，n=−3, 1, 2を得る。いずれを代入しても元の式の値は3であるため，これらはすべて条件を満たす。
総評
難度4、目安時間10分。式が常に3の倍数であることを見抜く整数問題である。合同式 n3≡n(mod3) を使う方法と，3+(n−1)(n−2)(n+3) へ変形する方法の双方で検算できる。「3で割り切れる」だけで終えず，素数を正の整数として扱って値が3に限られること，さらに n=−3,1,2 を代入して実現を確認することまで書く。
冊子PDFで見る京大の整数の問題で問題集を作る
出典: 京都大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
Evolton