京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$p,q$がともに奇素数であるとする。このとき$p^q$も$q^p$も奇数なので，$p^q+q^p$ は偶数である。しかも$p^q+q^p>2$だから，素数ではない。したがって，$p,q$の少なくとも一方は2である。

式は$p,q$について対称なので，$p=2$としてよい。まず$q=2$なら $2^2+2^2=8$ であり，素数ではない。

次に$q$を奇素数とする。$q=3$のときは $2^3+3^2=8+9=17$ であり，これは素数である。

残りは$q\mathrm{\ne }3$の奇素数の場合である。このとき$q$は3で割り切れないので $q^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。また$q$は奇数だから $$2^q\equiv (-1{)}^q\equiv -1\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ である。したがって $2^q+q^2\equiv 2+1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ となる。さらに$2^q+q^2>3$なので，これは素数ではない。

以上より，求める素数は $\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">17</mn>}$ だけである。

式が素数になるための必要条件を合同式で逆向きに絞る。和が奇数でなければならないことから$p,q$の一方が2と分かる。残る奇素数を$r$とし，$r>3$なら法3で和が0になることを示して，$r=3$だけを残す。

$P=p^q+q^p$が素数であるとする。$p,q$がともに奇数なら$P$は2より大きい偶数となるため素数ではない。また両方が2なら$P=8$である。したがって$p,q$のちょうど一方が2でなければならない。

式は$p,q$について対称なので，奇素数を$r$として$$P=2^r+r^2$$と書く。$r=3$なら$$P=2^3+3^2=17$$であり，確かに素数である。

一方，$r>3$なら$r$は3で割り切れない奇数である。よって$$r^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),2^r\equiv (-1{)}^r\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$であり，$$P=2^r+r^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}$$しかも$P>3$だから，この場合は素数にならない。

したがって可能なのは$\{p,q\}=\{2,3\}$だけであり，求める素数は$$\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">17</mn>}$$のみである。