京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

問題文の数$2,12,1331$はいずれも$n$進法で表記されている。$n\geqq 4$なので，$2$は十進法でも2である。また ${12}_{(n)}=n+2$ であり，$${1331}_{(n)}=n^3+3n^2+3n+1=(n+1{)}^3$$ である。したがって条件は，十進法で $2^{n+2}=(n+1{)}^3$ となる。

まず$n=7$を代入すると $$2^{7+2}=2^9=512,(7+1{)}^3=8^3=512$$ であり，確かに条件を満たす。

次に他に解がないことを示す。$4\leqq n\leqq 6$では$$\begin{array}{cccc}n& 4& 5& 6\\ 2^{n+2}& 64& 128& 256\\ (n+1{)}^3& 125& 216& 343\end{array}$$であり，いずれも一致しない。 $n\geqq 8$については $$A_n=\frac{2^{n+2}}{(n+1{)}^3}$$ とおく。すると $$\frac{A_{n+1}}{A_n}=2{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)}^3$$ である。$n\geqq 8$では $2(n+1{)}^3>(n+2{)}^3$ が成り立つので，$A_{n+1}>A_n$である。実際，左辺から右辺を引くと $$2(n+1{)}^3-(n+2{)}^3=n^3-6n-6>0$$ である。

ところが$n=8$では $2^{10}=1024>729=9^3$ であるから，$A_8>1$である。したがって$n\geqq 8$では常に$2^{n+2}>(n+1{)}^3$となり，等号は起こらない。

以上より，求める$n$は $\mathbf{7}$ である。

$n$進表記を十進法へ直した後，$n\geqq 8$の除外を数学的帰納法で行う。小さい$n$は表で確認し，$n=8$で指数側が3次式側を追い越した後は，左辺を2倍する増え方が右辺の増え方より大きいことを示す。

$n$進法の$12$と$1331$は，十進法ではそれぞれ$${12}_{(n)}=n+2,{1331}_{(n)}=n^3+3n^2+3n+1=(n+1{)}^3$$である。したがって求める条件は$$\begin{array}{cccc}& 2^{n+2}=(n+1{)}^3& & \text{(1)}\end{array}$$となる。

$n=4,5,6,7$を調べると$$\begin{array}{ccccc}n& 4& 5& 6& 7\\ 2^{n+2}& 64& 128& 256& 512\\ (n+1{)}^3& 125& 216& 343& 512\end{array}$$であるから，この範囲では$n=7$だけが(1)を満たす。

次に$n\geqq 8$では$$\begin{array}{cccc}& 2^{n+2}>(n+1{)}^3& & \text{(2)}\end{array}$$が続くことを帰納的に示す。$n=8$では$2^{10}=1024>729=9^3$なので成り立つ。$n=k\geqq 8$で(2)が成り立つと仮定する。このとき$$2^{k+3}>2(k+1{)}^3\mathrm{.}$$さらに$$2(k+1{)}^3-(k+2{)}^3=k^3-6k-6>0$$である。最後の不等式は$k\geqq 8$で明らかだから，$2^{k+3}>(k+2{)}^3$となり，$n=k+1$でも(2)が成り立つ。よって$n\geqq 8$に解はない。

以上より，十進法で表した答えはである。