京都大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。ただし、

0.3010 < lo g_{10} 2 < 0.3011

であることは用いてよい。

(1) 100桁以下の自然数で、2以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。

(2) 100桁の自然数で、2と5以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。

出典：京都大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

(1)は条件を満たす数を $2^{k}$ と書き， $2^{k} < 1 0^{100}$ を常用対数で評価して $k$ の最大値を決める。(2)は $2^{a} 5^{b}$ を， $a ≧ b$ なら $1 0^{b} 2^{a - b}$ ， $a < b$ なら $1 0^{a} 5^{b - a}$ と分ける。固定した残り指数に対して100桁になる10の指数はただ1つであることを確認し， $2^{c}$ 側と $5^{d}$ 側の個数を足す。

解法2

指数対 $(a, b)$ を常用対数平面の幅1の帯として数える。(1)は $k lo g_{10} 2 < 100$ の格子点数。(2)は差 $k = a - b$ の符号で斜めの格子列を分け、固定した差ごとに100桁の帯へ入る10の指数がちょうど1つであることを使う。

解答

解法1

(1)

2以外の素因数を持たない自然数は $2^{k} (k = 0, 1, 2, \dots)$ と書ける。ここで $k = 0$ は数 $1$ に対応する。

100桁以下であるための条件は $2^{k} < 1 0^{100}$ である。常用対数をとると $k lo g_{10} 2 < 100$ である。与えられた不等式から $332 lo g_{10} 2 < 332 \cdot 0.3011 = 99.9652 < 100$ であり，一方 $333 lo g_{10} 2 > 333 \cdot 0.3010 = 100.233 > 100$ である。したがって $k = 0, 1, 2, \dots, 332$ が可能であり，個数は $333$ である。

(2)

2と5以外の素因数を持たない自然数は $2^{a} 5^{b} (a, b ≧ 0)$ と書ける。これが100桁である条件は $1 0^{99} ≦ 2^{a} 5^{b} < 1 0^{100}$ である。

まず $a ≧ b$ の場合を考える。 $c = a - b$ とおくと $2^{a} 5^{b} = 1 0^{b} 2^{c}$ である。固定した $c$ について，100桁になる $b$ は $99 ≦ b + c lo g_{10} 2 < 100$ を満たす整数であり，区間の長さが1なので高々1つである。また $c lo g_{10} 2 < 100$ であればそのような $b ≧ 0$ がちょうど1つ存在する。よって(1)と同じく $c = 0, 1, 2, \dots, 332$ の333通りである。

次に $a < b$ の場合を考える。 $d = b - a$ とおくと $d ≧ 1$ であり $2^{a} 5^{b} = 1 0^{a} 5^{d}$ である。ここで $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ だから $0.6989 < lo g_{10} 5 < 0.6990$ である。100桁になる $a$ が存在する条件は $d lo g_{10} 5 < 100$ であり，このとき $a$ はただ1つ定まる。

実際， $143 lo g_{10} 5 < 143 \cdot 0.6990 = 99.957 < 100$ であり， $144 lo g_{10} 5 > 144 \cdot 0.6989 = 100.6416 > 100$ である。したがって $d = 1, 2, \dots, 143$ の143通りである。

以上より，求める個数は $333 + 143 = 476$ である。

解法2

(1)

条件を満たす自然数は

2^{k} (k = 0, 1, 2, \dots)

である。100桁以下である条件は

k lo g_{10} 2 < 100.

与えられた評価から

332 lo g_{10} 2 < 100 < 333 lo g_{10} 2

なので $k = 0, 1, \dots, 332$ 。したがって

333 個

である。

(2)

数を $2^{a} 5^{b}$ と書く。まず $a - b = k ≧ 0$ の格子列を考えると

2^{a} 5^{b} = 1 0^{b} 2^{k} .

固定した $k$ に対し、100桁になる条件は

99 - k lo g_{10} 2 ≦ b < 100 - k lo g_{10} 2.

この半開区間の長さは1なので、整数 $b$ はちょうど1つ入る。ただし $b ≧ 0$ となるには

k lo g_{10} 2 < 100

が必要十分である。よって $k = 0, \dots, 332$ の333列がある。

次に $b - a = d ≧ 1$ とすると

2^{a} 5^{b} = 1 0^{a} 5^{d} .

同様に固定した $d$ ごとに100桁となる整数 $a ≧ 0$ は、 $d lo g_{10} 5 < 100$ のときちょうど1つである。

lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2

より

143 lo g_{10} 5 < 100 < 144 lo g_{10} 5.

したがって $d = 1, \dots, 143$ の143列がある。

2つの場合は $a = b$ を前者だけに含めているので重複しない。よって求める個数は

333 + 143 = 476

である。

京都大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

京都大学 2017年度
文系数学第2問