京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
2以外の素因数を持たない自然数は $$2^k(k=0,1,2,\dots )$$ と書ける。ここで$k=0$は数$1$に対応する。

100桁以下であるための条件は $2^k<{10}^{100}$ である。常用対数をとると $k{\log }_{10}2<100$ である。与えられた不等式から $$332{\log }_{10}2<332\cdot 0.3011=99.9652<100$$ であり，一方 $$333{\log }_{10}2>333\cdot 0.3010=100.233>100$$ である。したがって $k=0,1,2,\dots ,332$ が可能であり，個数は $333$ である。

(2)
2と5以外の素因数を持たない自然数は $2^a{5}^b(a,b\geqq 0)$ と書ける。これが100桁である条件は $${10}^{99}\leqq 2^a{5}^b<{10}^{100}$$ である。

まず$a\geqq b$の場合を考える。$c=a-b$とおくと $2^a{5}^b={10}^b{2}^c$ である。固定した$c$について，100桁になる$b$は $$99\leqq b+c{\log }_{10}2<100$$ を満たす整数であり，区間の長さが1なので高々1つである。また$c{\log }_{10}2<100$であればそのような$b\geqq 0$がちょうど1つ存在する。よって(1)と同じく $c=0,1,2,\dots ,332$ の333通りである。

次に$a<b$の場合を考える。$d=b-a$とおくと$d\geqq 1$であり $2^a{5}^b={10}^a{5}^d$ である。ここで $${\log }_{10}5=1-{\log }_{10}2$$ だから $$0.6989<{\log }_{10}5<0.6990$$ である。100桁になる$a$が存在する条件は $d{\log }_{10}5<100$ であり，このとき$a$はただ1つ定まる。

実際，$$143{\log }_{10}5<143\cdot 0.6990=99.957<100$$ であり，$$144{\log }_{10}5>144\cdot 0.6989=100.6416>100$$ である。したがって $d=1,2,\dots ,143$ の143通りである。

以上より，求める個数は $333+143=476$ である。

指数対 $(a,b)$ を常用対数平面の幅1の帯として数える。(1)は $k{\log }_{10}2<100$ の格子点数。(2)は差 $k=a-b$ の符号で斜めの格子列を分け、固定した差ごとに100桁の帯へ入る10の指数がちょうど1つであることを使う。

(1)
条件を満たす自然数は$$2^k(k=0,1,2,\dots )$$である。100桁以下である条件は$$k{\log }_{10}2<100.$$与えられた評価から$$332{\log }_{10}2<100<333{\log }_{10}2$$なので $k=0,1,\dots ,332$。したがって$$333\text{個}$$である。

(2)
数を $2^a{5}^b$ と書く。まず $a-b=k\geqq 0$ の格子列を考えると$$2^a{5}^b={10}^b{2}^k\mathrm{.}$$固定した $k$ に対し、100桁になる条件は$$99-k{\log }_{10}2\leqq b<100-k{\log }_{10}2.$$この半開区間の長さは1なので、整数 $b$ はちょうど1つ入る。ただし $b\geqq 0$ となるには$$k{\log }_{10}2<100$$が必要十分である。よって $k=0,\dots ,332$ の333列がある。

次に $b-a=d\geqq 1$ とすると$$2^a{5}^b={10}^a{5}^d\mathrm{.}$$同様に固定した $d$ ごとに100桁となる整数 $a\geqq 0$ は、$d{\log }_{10}5<100$ のときちょうど1つである。$${\log }_{10}5=1-{\log }_{10}2$$より$$143{\log }_{10}5<100<144{\log }_{10}5.$$したがって $d=1,\dots ,143$ の143列がある。

2つの場合は $a=b$ を前者だけに含めているので重複しない。よって求める個数は$$333+143=476$$である。