京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

余りを$$R(x)=ax+b$$とおく。$x^n-R(x)$ は $(x-k)(x-k-1)$ で割り切れるから、$x=k,k+1$ を代入して$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle ak+b}& {\displaystyle =k^n,}\\ {\displaystyle a(k+1)+b}& {\displaystyle =(k+1{)}^n}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$を得る。

(1)

(1) の2式を引くと$$a=(k+1{)}^n-k^n\mathrm{.}$$$k,n$ は自然数なので、右辺は整数である。また(1)の第1式から$$b=k^n-ak$$であり、これも整数である。

(2)

ある素数 $p$ が $a,b$ をともに割ると仮定する。(1)より$$p\mid k^n,p\mid (k+1{)}^n\mathrm{.}$$$p$ は素数だから$$p\mid k,p\mid k+1.$$したがって $p$ はその差$$(k+1)-k=1$$も割ることになるが、これは不可能である。

よって、$a,b$ をともに割り切る素数は存在しない。