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京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

実数x，yが条件x2+xy+y2=6を満たしながら動くときx2y+xy2−x2−2xy−y2+x+yがとりうる値の範囲を求めよ．

難易度6/ 10計算量4/ 10目安20分

数と式、方程式・不等式、微分　対称式の利用、文字消去、微分による最大最小

方針

与式と条件が対称式なので、s=x+y、p=xy に置き換える。条件 x2+xy+y2=6 から p=s2−6 と表せ、求める式も s だけの3次式になる。ただし任意の s が許されるわけではないので、x,y が実数として存在する条件を、2次方程式 X2−sX+p=0 の判別式で求める。最後は閉区間上の3次関数の最大最小として、端点と臨界点を比較する。

解答

s=x+y,p=xy とおく。すると x2+xy+y2=(x+y)2−xy=s2−p であるから、条件 x2+xy+y2=6 は s2−p=6 すなわち p=s2−6 と表せる。

求める式を E とおくと E=x2y+xy2−x2−2xy−y2+x+y である。ここで x2y+xy2=xy(x+y)=ps であり、また x2+2xy+y2=(x+y)2=s2 なので E=ps−s2+s である。p=s2−6 を代入して E=s(s2−6)−s2+s=s3−s2−5s を得る。

次に s の範囲を求める。実数 x,y が和 s、積 p をもつことは、2次方程式 X2−sX+p=0 が実数解をもつことと同値である。したがって判別式が0以上でなければならない。 s2−4p≧0 に p=s2−6 を代入すると s2−4(s2−6)≧0 すなわち 24−3s2≧0 である。よって −22≦s≦22 である。

以上より、求める値の範囲は F(s)=s3−s2−5s の [−22,22] における値域である。微分すると F′(s)=3s2−2s−5=(3s−5)(s+1) である。したがって区間内の臨界点は s=−1,s=53 である。

端点と臨界点での値を調べると F(−22)=−8−62, F(−1)=3, F(53)=12527−259−253=−17527, F(22)=−8+62 である。これらを比較すると最小値は −8−62、最大値は3である。

したがって取りうる値の範囲は −8−62≦x2y+xy2−x2−2xy−y2+x+y≦3 である。

総評

難度6、目安時間20分。対称式を s=x+y、p=xy に直すと、条件も目的式も一気に整理される。重要なのは、p=s2−6 と出した後で、実数 x,y が存在するための判別式条件を必ず入れること。最大最小では端点 ±22 と臨界点 −1,5/3 の4点を比較する。特に最大値3は内部点 s=−1 で出るため、端点だけを見ると誤る。
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出典: 京都大学 2012年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。